【转】抛鸡蛋(玻璃球或围棋)

 

题目：一个100层的大厦，你手中有两个相同的鸡蛋(玻璃球或围棋)。从这个大厦的某一层扔下鸡蛋（(玻璃球或围棋)）就会碎，用你手中的这两个鸡蛋(玻璃球或围棋)，找出一个最优的策略，来得知那个临界层面。

分析：这道题比较直观的想法是通过二分来寻找，但是二分的解法应该不是最优的。这里讨论通过动态规划的思路来求解。这里的最优策略指的是在这种策略下无论哪个临界层面在第几层，测试的次数都最少。设F(n,k)为用k个玻璃球来测试n层大厦的临界层的最少次数，状态转移方程如下：
F(n,k)=min{max{F(r,k-1), F(n-r,k)}+1, 1<=r<=n}，边界条件:F(n,1)=n-1, F(1,k)=F(0,k)=0
状态转移方程可以这样来考虑，假设在n层楼中的第r层抛一次(对应方程中的"+1")，会有两种情况发生：

• (1)玻璃球碎，说明在第1到第r层楼中必有一层为临界层，问题转化为一个子问题：求F(r,k-1)
• (2)玻璃球不碎，说明临界层在第r+1层到第n层这n-r层楼中，问题转化为子问题:求F(n-r,k)

因为考虑的是最坏情况下抛球策略的所需测试次数的最小值，所以取这两种情况中的较大值，并遍历每一个可能的r，取其最小值即得到F(n,k)。实现代码如下：

 

#define MAX_FLOOR 512  
#define MAX_BALL  100  
  
int dp(int n, int k)  
{  
    if(k<1 || n<1) return -1;      
  
    if(k==1) return n-1;  
    if(n==1) return 0;  
  
    int M[MAX_BALL][MAX_FLOOR];  
    int i,j,r;  
    int temp, min;  
  
    for(i=0;i<=k;i++) M[i][0]=M[i][1]=0;    //F(1,k)=F(0,k)=0  
    for(j=2;j<=n;j++) M[1][j]=j-1;            //F(n,1)=n-1  
  
    /* 
        状态转移方程： 
        F(n,k)=min{max{F(r,k-1)+1, F(n-r,k)+1}, 1<=r<=n} 
    */  
    for(i=2;i<=k;i++)  
        for(j=2;j<=n;j++)  
        {  
            min = numeric_limits<int>::max();  
            for(r=1;r<=j;r++)  
            {  
                temp = max(M[i-1][r], M[i][j-r])+1;  
                if(temp<min)  
                    min = temp;  
            }  
            M[i][j] = min;  
        }  
  
    return M[k][n];//F(n,k)  
}  

 

 

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