有趣的生日概率问题

生日概率问题，记得高中课本有出现过，一道挺有趣的数学概率题。假如一个班里面有50个人，问至少有两个人生日相同的概率大还是没有生日相同的概率大呢？(不考虑闰年，一年为365天)

很多人的第一反应就是：我们班大概也这么多人，好像没听说有人生日相同哦，有生日相同的概率应该比较小吧。。。事实并非和如此，仔细分析然后算了一下，结果出乎意料。

 

求至少有两个人生日相同的概率，可以先求n个人生日都不相同的概率。那么第一个人出生可以是365天中任意一天出生，第二个可以是剩下的364天中任意一天出生，以此类推，得到n个人中生日都不相同的概率为

(365/365)*(364/365)*…*[(365-n+1)/365]

 

则至少有两个人生日相同的概率为

P = 1-(365/365)*(364/365)*…*[(365-n+1)/365]

 

当n=50时，这个表达式还是比较难算的，还是写个程序算出来吧

 

#include<stdio.h>
int main() {
	int day = 365;   
	int num = 1;            //人的数目
	float p = 0.0;
	while(p<0.9) {        //这里只算到概率p=0.9的情况
		num++;
		p = 1 - (1-p)*(day-num+1)/day;
		printf("%5f  %d\n", p, num);
	}
	return 0;

}

 

程序跑起来了，一看，当p=0.5时，n=23，当p=0.9时，n=41！！这说明在23个人中，至少有两个人生日相同的概率已经达到50%了，当有41个人时，概率就达到90%了，太神奇了！可能而知，n=50时，p的概率有多大了。

 

扩展一下，50个人中至少有一个人和你生日相同的概率是多少呢？

基于前面的理解，不难得到下面的等式，即

P = 1-(364/365)^n

 

结果是比较难算的，写个程序运行比较方便，跟上面的差不多

 

#include<stdio.h>

int main() {
	int day = 365;   
	int num = 1;                //人数
	float p = 0.0;
	while(p<0.5) {            //这里只算到p=0.5时的情况
		num++;
		p = 1 - (1-p)*(day-1)/day;    
		printf("%5f  %d\n", p, num);
	}
	return 0;
}

 

从运行结果得知， p=0.5时，n=253， 把上面的p修改为0.9时，得到的n为840！所以想在学校找个跟你生日相同的人还真不容易啊。这是为什么呢？大家都知道，当有365个人时，肯定会存在有人生日相同的，但要跟指定的某一个人生日相同，要有840个人时概率才达到90%，这是因为那n个人中可以有人是生日相同的。

 

 

评论

2 楼 crd1991 2012-03-31  

heydaytoheyong 写道

，真没什么意思。

我这里说得比较浅显而已，其实生日问题的应用还是蛮重要的，比如可以用于检测哈希函数的碰撞问题。任何一个原理看似比较简单，如果能把其原理运用到实践中，那将是巨大的收获。

1 楼 heydaytoheyong 2012-03-31  

，真没什么意思。