数量积，点积

在数学中，数量积（也称为标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个矢量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

 

计算方法

两个矢量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:

这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维矢量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

。

使用矩阵乘法并把（纵列）矢量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

，

这里的a^T指示矩阵a的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行矢量）乘以一个3×1矢量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

。

几何解释

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

,

这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个矢量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的矢量的点积总是零。若a和b都是单位矢量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个矢量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个矢量投影到第二个矢量上（这里，矢量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

 

来源于： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%A7%AF