模拟频率与数字频率

模拟频率与数字频率

在数字信号处理的学习中，很多刚入门朋友常常为模拟频率、数字频率及其相互之间的关系所迷惑，甚至是一些已经对数字信号处理有所了解的朋友也为这个问题所困惑。

我们通常所说的频率，在没有特别指明的情况下，指的是模拟频率，其单位为赫兹(Hz)，或者为1/秒(1/s)，数学符号用f来表示。这是因为现实世界中的信号大多为模拟信号，频率是其重要的物理特性。以赫兹表示的模拟频率表示的是每秒时间内信号变化的周期数。如果用单位圆表示的话，如图1所示，旋转一圈表示信号变化一个周期，则模拟频率则指的是每秒时间内信号旋转的圈数。

图1 数字频率与模拟频率

模拟频率中还有一个概念是模拟角频率，数学符号常用Ω来表示，其单位为弧度/秒(rad/s)。从单位圆的角度看，模拟频率是每秒时间内信号旋转的圈数，每一圈的角度变化数为2pi。很显然，旋转f圈对应着2pi*f的弧度。即：

Ω=2pi*f(rad/s) (1)

数字信号大多是从模拟信号采样而得，采样频率通常用fs表示。数字频率更准确的叫法应该是归一化数字角频率，其单位为弧度(rad)，数学符号常用ω表示。即：

ω=2pi*f/fs(rad) (2)

其物理意义是相邻两个采样点之间所变化的弧度数，如图1所示。

有了公式(1)和(2)，我们就可以在模拟频率与数字频率之间随意切换。假定有一个正弦信号x[n]，其频率f=100Hz，幅度为A，初始相位为0，则这个信号用公式可以表示为：

x(t) =A*sin(2*pi*100*t)

用采样频率fs=500Hz对其进行采样，得到的数字信号x[n]为：

x[n] =A*sin(2*pi*100*n/fs)= A*sin(0.4*pi*n)

很明显，这个数字信号的频率为0.4pi。

由上述讨论可知，对应两个数字频率完全相同的信号，其模拟频率未必相同，因为这里还要考虑采样频率。这种归一化为处理带来了方便，带也给理解带来了困惑。在数字信号中，虽然经常不显式地出现采样频率，但它却是架起模拟信号与数字信号的桥梁，对信号处理的过程有举足轻重的影响。