组合数学——polya定理及其应用

    Polya定理

    设有n个对象，G是这n个对象上的置换群，用m种颜色涂染这n个对象，每个对象涂染一种颜色，问有多少种染色方案？一种染色方案在群G的作用下变为另一种方案，则这两种方案当作是一种方案。

    方案数为

 

POJ2409

   题意：一家项链公司生产手镯。n颗珠子形成一个环，用m种颜色给n颗珠子染色，就得到了各种各样的手镯。但是，经过旋转和翻转使之吻合的算同一种方案。

例如，当用2种颜色对5颗珠子进行染色的方案数为8，如下图所示。

 

解：显然，对于这n个对象，有n种旋转和n种翻转。

1. 对于旋转，有c(gi) = gcd(n,i)，i为转动几颗珠子。

2. 对于翻转，当n为奇数时，c(gi) = n/2+1；

                   当n为偶数时，有n/2个的循环节数为n/2+1，有n/2个的循环节数为n/2。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef __int64 int64;

int gcd(int a, int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

//用m种颜色涂均匀分布在圆环上的n颗珠子的方案数
int64 polya_circle(double m, int n)
{
    int64 result = 0;
    //旋转
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        result += pow(m,gcd(n,i));
    //翻转
    if(n%2)
        result += n*pow(m,n/2+1);
    else
        result += (pow(m,n/2)+pow(m,n/2+1))*n/2;
    return result/n/2;
}


int main()
{
    int c,s;
    while(true)
    {
        scanf("%d %d",&c,&s);
        if(c==0&&s==0)
            break;
        printf("%I64d\n",polya_circle(c,s));
    }
    return 0;
}