大楼扔鸡蛋问题的求解讨论

有道经典的算法题，100层楼，两个鸡蛋。某层之上扔鸡蛋就会碎。问至少要测试多少次才能找出这层楼来。

 

如果只有一个鸡蛋，我就只能一层一层试验。两个的话关键就是找着第一个鸡蛋试验的位置，第二个鸡蛋还是只能一层一层试验。

这道问题其实可以扩展到任意个鸡蛋，但现在还是只看2个鸡蛋的情况。

2个鸡蛋只有n层的最优解求出来假使为k，那么，n+1层的时候，把第一个鸡蛋在第k层释放，只有两种情况（n+1只是分解成两个<=n的子问题，这两个都是已经有解了的）：

（1）破碎，于是只有之后就只能遍历从地面到第k-1层，一层层遍历，不能偷懒，最坏的情况在此要尝试k次；

（2）没碎，那问题不就变成了要在n-k层里面求解的子问题了吗？

假设最优解y=f(2,n)，所以得到：

 

f(2,n+1) = max(k, f(2,n-k)+1)

 

接下去的递归求解就豁然开朗了。

 

我本以为问题就差不多可以结了，赶紧去写代码吧，可是小罗同学叫住我了：

表急，好像有更简单的解法：

 

找一个k  k(k+1)/2>=100，k可取的最小整数值就是最优解

 

 

这个好像是猜出来的，得证明一下。

（a）要证明k(k+1)/2>=n里面k是可以准确找出这层楼的解；

（b）当k<=k-1的时候，不等式恒不成立

这样才能得出这个k是最优解。

 

小罗同学说，可以用数学归纳法证明这第（a）点：

 

k=1时，1(1+1)/2>=1成立。
现在用数学归纳法，根据f(k-1)=(k-1)(k-1+1)/2>=n-k，得出f(k)=k(k+1)>=n，依据是前面提到了碎和没碎两种情况的分类讨论。

 

 

当然，还可以用“递降法”：

 

要证明k(k+1)>n
只需要证明(k-1)(k-1+1)/2>=n-k
只需要证明(k-2)(k-2+1)/2>=n-k-(k-1)
……
只需要证明0>=n-(k+k-1+k-2+...1)
等价于k(k+1)/2>=n

 

 

无论如何，这只完成了上面的第（a）点，还有第（b）点没有证明呢，即：

当k<=k-1的时候，不等式恒不成立，又即下面的不等式恒成立：

 

(k-1)k/2<n

 

走到这一步似乎没法进行下去了……

谁来为我指指路呢？呵呵。

 

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2012-2-3晚上补充：

上式的解决办法，还是数学归纳法：

 

f(k)的时候，第一次测试不能高于k层（因为第一次测试高于k的时候，如果碎了，就肯定不能保证k次测试出来了）
如果f(k)=x,第一次不能高于k，那么剩下至少是x-k是吧 
剩下的次数是k-1次是吧 
所以x-k>=f(k-1)=(k-1)(k-1+1)/2
所以x>=k(k+1)/2 
又显然f(1)=1(1+1)/2=1 
所以对于f(k-1)成立的话，f(k)也成立

 

 

文章系本人原创，转载请注明出处和作者

评论

6 楼 lightgjc1 2012-02-05  

重在思想。。。

5 楼 血冷狼 2012-02-03  

天啊  不懂

4 楼 RayChase 2012-02-03  

mixer_a 写道

转载的吧，以前是仍玻璃球吧,又是这些垃圾的问题

文章系本人原创，转载请注明出处和作者

3 楼 mixer_a 2012-02-03  

转载的吧，以前是仍玻璃球吧,又是这些垃圾的问题

2 楼 ericchandn 2012-02-03  

原题是扔玻璃球吧,扔鸡蛋能不碎?

1 楼 RayChase 2012-02-03  

关于上面最先写的那个递归求解方法，参见 Tsaid 的代码：
http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/6835908