约瑟夫环

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

数学思想：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

　　为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到m-1的退出

　　，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:

　　k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

　　并且从k开始报0。

　　现在我们把他们的编号做一下转换：

　　k --> 0

　　k+1 --> 1

　　k+2 --> 2

　　...

　　...

　　k-3 --> n-3

　　k-2 --> n-2

　　序列1： 0, 1, 2, 3 … n-2, n-1

　　序列2： 0, 1, 2, 3 … k-1, k+1, …, n-2, n-1

　　序列3： k, k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, 1, 2, 3,…, k-2,

　　序列4：0, 1, 2, 3 …, 5, 6, 7, 8, …, n-3, n-2

　　变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

　　∵ k=m%n;

　　∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

　　∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

　　得到 x‘=(x+m)%n

　　如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

　　令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

　　递推公式:

　　f[1]=0;

　　f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

　　有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：(注意编号是0 -- n-1)

　　#include <stdio.h>

　　int main(void)

　　{

　　int n, m, i, s=0;

　　printf ("N M = ");

　　scanf("%d%d", &n, &m);

　　for (i=2; i<=n; i++)

　　s=(s+m)%i;

　　printf ("The winner is %d\n", s);

　　return 0 ;

　　}

　　时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

　　参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有

　　k+1 -->1

　　k+2 -->2

　　...

　　...

　　n -->n-k

　　1 -->n-k+1

　　...

　　...

　　k-1 -->n-1

　　由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n,由此，我们可以得到一个递推公式

　　f[1]=1

　　f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）

　　如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们修要对上式进行修正，

　　f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;

　　问题得解。 程序代码如下：

　　#include<stdio.h>

　　int main()

　　{

　　int n,k,s=1;

　　scanf("%d%d",&n,&k);

　　for(int i=2;i<=n;i+=1)

　　{

　　s=(s+k)%i;

　　if(s==0)s=i;

　　}

　　printf("ans=%d\n",s);

　　return 0;

　　}

　　当然，我们还可以用递归方法解决此问题：

　　#include<stdio.h>

　　int main()

　　{

　　int jos(int n,int k);

　　int n,k,s;

　　scanf("%d%d",&n,&k);

　　s=jos(n,k);

　　printf("ans=%d\n",s);

　　return 0;

　　}

　　int jos(int n,int k)

　　{

　　int x;

　　if(n==1)x=1;

　　else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;}

　　return x;

　　}