对数极坐标

本文转自：http://blog.csdn.net/carson2005/article/details/7185552

       在介绍对数极坐标之前，让我们先来介绍极坐标的概念。在平面内选择一个定点O作为“极点”，从该点引出一条射线OX，叫做“极轴”，再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点M，可以用r来表示OM的长度，用表示OM到OX所转过的角度。那么，就被称为点M的极坐标。用这种方法建立的坐标系叫做极坐标系。显然，极坐标系和直角坐标系之间存在着对应关系，即：，也可以写为：。

        顺便提一下，第一个使用极坐标来确定平面内点的坐标位置的人是牛顿。

       下图所示，就是一个圆在直角坐标系及极坐标系中的表示。可见，圆上的任意一点的坐标，可以用的极坐标形式来表示，也可以用(x,y)的直角坐标形式来表示。

                                                        

对数极坐标，顾名思义，就是在极坐标的基础上，增加“对数”，即log运算。直角坐标同对数极坐标之间存在着如下的转换关系：

，其中，

极坐标和对数极坐标有很多很好的性质，因此，在图像处理中，我们也经常能见到它的身影。例如，在图像拼接中，经常会见到将图像从笛卡尔直角坐标系转换到对数极坐标系中，进行图像旋转尺度和缩放因子的计算，并以此来进行后续的匹配和矫正、配准等操作。

                                    

上图就是一个典型的例子，左边是直角坐标系中的三个矩形（分别用粗实线、细虚线、粗虚线来表示），右边是对数极坐标中表示的三个矩形。很显然，直角坐标系中粗虚线表示的矩形，距离中心点的距离最长，因此，转换到对数极坐标中时，其位于logr轴的最右方。而直角坐标系中粗实线和细虚线表示的两个矩形，距离中心点的距离相等，但是，两者之间存在着45度的夹角，而这在对数极坐标中，可以明显的看出。