堆排序

顾名思义，堆排序算法使用堆来排序无序的anarray数组。首先，算法将数组转换为堆。为完成转换，一种方法是使用heapInsert函数，将项逐一入堆。
还有一种方法有数组anArray的项构建堆，这种方法的效率更高。假设anArray的原始内容如图1-a所示。将数组anArray的项指派给树的节点，从根开始，从左到右，逐渐下移将数组视为二叉树。结果如图1-b所示。此后，反复调用heapRebuilt，将该树转换为堆。heapRebuilt将半堆转换为堆。半堆的子树为堆，但根为就位。但是，树中有供heapRebuilt处理的半堆吗？图1-b的树不是半堆，但查看叶子，可以找到半堆；换言之，每个叶子是一个半堆。首先从左到右在叶子上调用heapRebuilt，接着沿树上移，在到达节点s时，其子树为堆。于是，heapRebuilt将以s为根的半堆转换为堆。

图1 （a）anArray的原始内容 ；（b）anArray的相应二叉树
下面的算法将包含n个项的anArray数组转换为堆，这是堆排序算法的第一个步骤。

for(index=n-1  down to 0)
{
	//Assertion :the tree rooted at index is a semiheap
	heapRebuild(anArray,index ,n);
	//Assertion :the tree rooted at index is a heap;
}

实际上，在前面的for语句中，可用n/2替换n-1。（因为从n/2到n-1的节点都为叶子，已经是堆了，没有必要在调用heapRebuilt函数）。图2跟踪图1-a的数组的算法。

图2 将anArray数组转换为堆
将数组转换为堆之后，堆排序将数组分为两个区域：heap（堆）和Sorted（有序），如图3所示，Heap区域在anArray[0..last],Sorted区域anArray[last..n-1]。开始时，Heap区域包含anArray的所有内容，而sorted区域为空，换言之，last=n-1。

图3 堆排序将数组分成两个区域
在算法的每一步，将项I从heap区域移到Sorted区域。堆排序算法的不变式为：
* 在步骤K后，Sorted区域包含anArray的K个最大值，且有序，换言之，anArray[n-1]是最大值，anArray[n-2]是第二最大值，以此类推。
* Heap区域中的项构成堆。
只要保持不变式，I必然是Heap区域中的最大项，故必为堆的根。为完成移动，交换堆的根项与堆的最后一项，换言之，交换anArray[0]与anArray[last]，然后last的值减1。结果，移动后，将Heap区域转换为堆，因为新项可能位置不对。可用heapRebuilt下移根项，是Heap区域再一次构成堆。
下面的伪码总结这些步骤：

heapSort(inout anarray:ArrayType ,in n:integer)
//sorts anarray[0..n-1]
{
	//build intial heap
	for(int index=n/2;index>=0;i--)
	{
		heapRebuild(anarray,index,n);
	}
	//Assertion :anArray[0]is the largest item in heap
	//anArray[0..n-1];
	last=n-1;
	//Invariant :anarray[0..last] is a heap
	//anArray[last+1,n-1] is sorted and contains the largest items of 
	//anArray
	for(int step=1 ;step<n;step++)
	{
		//move the largest item in the heap region --that
		//is ,the root anArray[0] --to the begining of the
		//Sorted region by swapping items;
		Swap anarray[0]  and anarray[last];
		Decrement last;
		//make the heap region a heap again
		heapRebuild(anarray,0,last);
	}

}

堆排序的效率分析与归并相似，在最坏的情况及平均情况下，两种算法均为O（n*log n）。与归并排序相比，堆排序的优势在于不需要第二个数组。快速排序在平均情况下也O（n*log n）,但在最坏的情况下为O（n^2）。尽管在最坏的情况下的效率不高，快速排序任然为首选的排序方法。