进制转换

十进制如何换算二进制、八进制、十六进制?

你以十进制的数除以你所要转换的进制数,把每次除得的余数记在旁边,所得的商数继续除以进制数,直到余数为0时止.例如你要把100转换成八进制:
100/8=12...(余数为4);
12/8=1.....(余数为4);
1/8=0......(余数为1);
然后把相应的余数从低向高顺着写出来,如上的为144,此即为100的八进制表示形式.
十进制转换为十六进制与二进制与前面的转化为八进制相同,如100转换为十六进制:
100/16=6....(余数为4);
6/16=0......(余数为6);
则以十六进制表示的100形式为64;
100转换为二进制:
100/2=50....(余数为0);
50/2=25.....(余数为0);
25/2=12.....(余数为1);
12/2=6......(余数为0);
6/2=3.......(余数为0);
3/2=1.......(余数为1);
1/2=0.......(余数为1);
所以100的二进制表示形式为1100100;
十六进制,二进制与八进制之间的转换可以通过补位来实现如:
二进制1100100可化为(001)(100)(100)=八进制144
=二进制(0110)(0100)=十六进制64;
即以二进制数分成3位一组(八进制)或四位一组(十六进制),不够位数的时候在二进制数前补0.

进制与进制之间的转换

先来了解几个概念：进制，基数，权值.

10进制:有0～9十个数字，逢十进一
8进制：有0～7八个数字，逢八进一
2进制：有0，1两个数字，逢二进一
16进制：有0～9，A，B，C，D，E，F十六个数字，逢十六进一

---

逢n进一的n就是基数，基数为几就有几个数字，如二进制基数为二,则有0，1两个;八进制基数为八有0，1，2，3，4，5，6，7八个。总之从0开始，最后一位位n-1.而十六进制由于超过十，所以从十开始为A（10）,B,C,D,E,F（15）.

所谓的权可以这样理解，一个数的每位都有一个权值m，并且权值为位数减一，如个位上的数的权值为0（位数1-1=0），十位为1(2-1=1).

二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……
所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：
下面是竖式：
　
0110 0100 换算成 十进制
　
第0位 0 * 2⁰   =   0
第1位 0 * 2¹   =   0
第2位 1 * 2²   =   4
第3位 0 * 2³   =   0
第4位 0 * 2⁴   =   0
第5位 1 * 2⁵   = 32
第6位 1 * 2⁶   = 64
第7位 0 * 2⁷   =   0      ＋
---------------------------
               100  
　
用横式计算为：
0 * 2⁰ + 0 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ + 0 * 2⁴ + 1 * 2⁵ + 1 * 2⁶ + 0 * 2⁷ = 100
　
0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：
1 * 2² + 1 * 2³ +   1 * 2⁵ + 1 * 2⁶ = 100

6.2.2 八进制数转换为十进制数

八进制就是逢8进1。
八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。
八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……
所以，设有一个八进制数：1507，转换为十进制为：
用竖式表示：
　
1507换算成十进制。
　
第0位 7 * 8⁰ = 7
第1位 0 * 8¹ = 0
第2位 5 * 8² = 320
第3位 1 * 8³ = 512    ＋
--------------------------
               839
同样，我们也可以用横式直接计算：
7 * 8⁰ + 0 * 8¹ + 5 * 8² + 1 * 8^{3 =} 839
　
结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839

十进制数转换到二、八、十六进制数

10进制数转换为2进制数

　
给你一个十进制，比如：6，如果将它转换成二进制数呢？
　
10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程：
把要转换的数，除以2，得到商和余数，
将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。
　
听起来有些糊涂？我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。
　
“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。
那么：
要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。（不要告诉我你不会计算6÷3！）

“将商继续除以2,直到商为0……”
现在商是3，还不是0，所以继续除以2。
那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。
　
“将商继续除以2，直到商为0……”
现在商是1，还不是0，所以继续除以2。
那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1 （拿笔纸算一下，1÷2是不是商0余1!）
　
“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”
好极！现在商已经是0。
我们三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！
　
6转换成二进制，结果是110。
　
把上面的一段改成用表格来表示，则为：

被除数	计算过程	商	余数
6	6/2	3	0
3	3/2	1	1
1	1/2	0	1

（在计算机中，÷用 / 来表示）
　
如果是在考试时，我们要画这样表还是有点费时间，所更常见的换算过程是使用下图的连除：

（图：1）
请大家对照图，表，及文字说明，并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。
说了半天，我们的转换结果对吗？二进制数110是6吗？你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了，所以请现在就计算一下110换成10进制是否就是6。
　

6.3.2 10进制数转换为8、16进制数

　
非常开心，10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成8。
　
来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。
　
用表格表示：

被除数	计算过程	商	余数
120	120/8	15	0
15	15/8	1	7
1	1/8	0	1

　
120转换为8进制，结果为：170。
　
非常非常开心，10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化：除数由2变成16。
　
同样是120，转换成16进制则为：

被除数	计算过程	商	余数
120	120/16	7	8
7	7/16	0	7

　
120转换为16进制，结果为：78。
　
请拿笔纸，采用（图：1）的形式，演算上面两个表的过程。

6.4 二、十六进制数互相转换

　
二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。
我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。
首先我们来看一个二进制数：1111，它是多少呢？
你可能还要这样计算：1 * 2⁰ + 1 * 2¹ + 1 * 2² + 1 * 2³ = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为2³ ＝ 8，然后依次是 2² ＝ 4，²¹＝2， 2⁰ ＝ 1。
　
记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。
　
下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值（中间略过部分）
　
仅4位的2进制数   快速计算方法    十进制值      十六进值
1111         = 8 + 4 + 2 + 1   = 15           F
1110         = 8 + 4 + 2 + 0   = 14           E
1101         = 8 + 4 + 0 + 1   = 13           D           
1100         = 8 + 4 + 0 + 0   = 12           C           
1011         = 8 + 4 + 0 + 1   = 11           B           
1010         = 8 + 0 + 2 + 0   = 10           A
1001         = 8 + 0 + 0 + 1   = 10           9
....
0001         = 0 + 0 + 0 + 1   = 1            1
0000         = 0 + 0 + 0 + 0   = 0            0
　
二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。
如(上行为二制数，下面为对应的十六进制)：
　
1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011
F     D    ，   A     5    ，   9     B   
　
反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？
先转换F：
看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。
接着转换 D：
看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 2 + 1,即：1011。
所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1011
　
由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。
比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:

被除数	计算过程	商	余数
1234	1234/16	77	2
77	77/16	4	13 (D)
4	4/16	0	4

　
结果16进制为： 0x4D2
　
然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1011 0010。
其中对映关系为：
0100 -- 4
1011 -- D
0010 -- 2
　
同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。
下面举例一个int类型的二进制数：
01101101 11100101 10101111 00011011
我们按四位一组转换为16进制： 6D E5 AF 1B    
  
（小数间的转换略）

关于十进制、八进制、十六进制的详细讲解及换算
在计算机中数值是用二进制表示的，之所以要用八进制和十六进制，是因为它们与二进制之间的互相转换很方便，而且它们比长长的一串二进制数要方便书写和记忆。要把二进制转换为八进制，需要用一张表，如下：
二进制 八进制
000      0
001      1
010      2
011      3
100      4
101      5
110      6
111      7
有了这张表，就可以方便的把二进制数转换成八进制数。
首先，将一个二进制数自右向左每三位分成一段。
然后，将每一段用表中的八进制数替换，即可
例如：100101010
把它分成100   101   010
查表：100->4   101->5   010->2
替换：452
完成
将二进制转换成十六进制也要用到表
二进制   十六进制
0000      0
0001      1
0010      2
0011      3
0100      4
0101      5
0110      6
0111      7
1000      8
1001      9
1010      A
1011      B
1100      C
1101      D
1110      E
1111      F
转换方法与八进制类似，只是要将二进制数每四位分成一段
十进制与二进制的转换则比较麻烦
十进制->二进制：
用短除法将数字连续除以二，将余数由下向上排列起来，即可
二进制->十进制：
将每一位数字乘以2的（位数减一）次方，然后加起来即可
如100110：1*pow(2,5)+1*pow(2,2)+1*pow(2,1)=38

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