论数学的基础

    数学家罗素曾经这样说过，“数学是这样的一门学问，它既不知道自己说的是什么，也不知道自己说得是否正确”（大意，找不到原文了）。这句话看上去很让人吃惊，毕竟大部分人认为数学是最精确最不会出错的学科。
    其实他的话可以这么来理解。
    数学的各种命题都会涉及到很多概念，有些概念是用另外的概念定义的。比如“三角形是三个首尾相接的线段组成的图形”，这里三角形是用线段来定义的。那么总会有些概念是无法定义的，这些被成为原子概念。比如几何学里面的“点”、“线”、“面”等。这样这些原子概念数学就不在追究它们究竟是什么，于是“数学就不知道自己说得是什么了”。
    数学里面有很多定理，很多定理都是通过其它定理来证明的。三国时期吴国的赵爽曾经用“面积定理”来证明“勾股定理”，参见http://www.mmit.stc.sh.cn/telecenter/CnHisScience/ggdl.htm。这样一定也存在一些没有办法证明的定理，这些定理一般被称为公理。几何学里面比较有名的公理是“平行公理”，即过直线外一点只能作一条平行线，该公理被提出来以后的一千多年里一直有人试图证明它但都失败了。这些公理究竟是否正确，数学也是不关心的，所以说“数学也不知道自己说得是否正确”。
    这么说，岂不是大事不妙，我们怎么能依赖这个胡说八道的数学呢？
    其实，可以从两个方面来考虑。
    首先，关于概念的问题，只是一个“名”和“实”的问题。数学大师希尔伯特也说，“我们必须可以用桌子、椅子、啤酒杯而不是点、线、面来同样展开我们的几何学”，原子概念不可定义又有什么关系呢，毕竟这些概念间的关系是才是最重要的也是我们最关心的。
    其次，关于公理的问题，这个比较复杂，又涉及到三个问题。
    其一是，数学公理和概念是否代表实际，代表到什么程度。你在地球表面上尽可能画两条平行的直线，因为地球是圆的，它们迟早要相交。在空间，光线的路径应该是直线吧，可是根据爱因斯坦的广义相对论，光线会被引力场弯曲。这样我们知道了，没有纯粹的点，也没有纯粹的直线和平面，所以概念以及概念之上的公理并不能完全地符合实际。但是在小范围内还是符合得很好，数学大师高斯和黎曼就证明了曲面局部性质和平面几何是一致的。
    其二是，公理之间是不是协调的，有没有矛盾。有矛盾的意思是，在公理系统中通过逻辑推理可以推出互相否定的定理来。这个问题的一个附属问题是，公理之间是否是独立的，就是说，其中的某个公理是不是不需要，可以从别的公理推出来。研究某个公理是否独立，就是用将该公理以其否定了来代替看替换过后的体系是否是协调的来判定。哥德尔、科恩等逻辑学家已经证明了我们目前采用的数学公理体系是没有矛盾的相互独立的。
    其三是，公理体系是不是完备的。完备的意思是，这个体系能否证明所有理论上可能的定理，当然其中的某些证明实际上可能需要很多时间和人力。哥德尔第一不完备性定理回答了这个问题，该定理说一切包含算术系统的公理体系，要么是有矛盾的，要么是不完备的。换句话说，所有包含算术系统在内的无矛盾的公理体系都是不完备的，有些定理是无法证明的。这个结果看上去很悲观，但实际上才充分说明了数学是不可穷尽的，是丰富多彩的。很多数论上有名的问题得不到回答可能就是这个原因。
    嗯，从上面说的这些，我们可以看出，罗素的话看上去不可思议，其实正好说明了数学的严谨，也就是说数学对自己究竟能解决哪些问题不能解决哪些问题这个涉及到本身的问题也有着精确的回答。这，就是严密的精确的美丽的数学。