动态规划--最长公共子序列

     X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
    同理，若序列Z既是X的子序列同时也是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列。其中最长的子序列称为最长公共子序列。
   在求最长公共子序列中，我们可以看出如下规律：
   设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
   (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。

   (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(即：Z是X序列中前m个元素所组成的序列与Y序列的最长公共子序列)

   (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。(即：Z是Y序列中前n个元素所组成的序列与X序列的最长公共子序列)

  由上面三个条件可得如下公式：
C[][]用来记录最长公共子序列的长度，则：
c[i][j] = <1> 0;                                     (当i、j = 0时)；
            <2> c[i-1][j-1] + 1;                   (当i、j > 0 且 Xi = Yj时)(即第i个X序列元素与第j个Y元素相等)
            <3> max(c[i][j-1] , c[i-1][j])       (当i、j > 0 且 Xi != Yj时)（当Xi与Yj不等时，取两个式子的最大值，若两者相等则默认取第一个）

/**
	 * 求出最大子序列的长度
	 * @param x 数组1
	 * @param y 数组2
	 * @param b 用于存放两个数组内容比较的情况
	 * @return  返回最大子序列的长度
	 */
	public static int lcsLength(String[] x, String[] y, int[][] b) {
		int m = x.length - 1;
		int n = y.length - 1;
		
		int[][] c = new int[m + 1][n + 1];
		
		for (int i = 1; i <= m; i++){
			c[i][0] = 0;
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			c[0][i] = 0;
		

		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				if (x[i].equals(y[j])) {
					c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
					b[i][j] = 1;
				} else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) {
					c[i][j] = c[i - 1][j];
					b[i][j] = 2;
				} else {
					c[i][j] = c[i][j - 1];
					b[i][j] = 3;
				}
			}
		}
		return c[m][n];
	}

	/**
	 * 构造最长公共子序列
	 * @param i 第一个数组的长度
	 * @param j 第二个数组的长度
	 * @param x 两个数组中的一个
	 * @param b 记录了公共子序列情况的数组，该数组在lcs
	 */
	public static void lcs(int i, int j, String[] x, int[][] b) {
		if (i == 0 || j == 0)
			return;
		if (b[i][j] == 1) {
			lcs(i - 1, j - 1, x, b);
			System.out.print(x[i]+"	 ");
		} else if (b[i][j] == 2)
			lcs(i - 1, j, x, b);
		else
			lcs(i, j - 1, x, b);
	}
	
	/**
	 * 初始化数组的方法
	 * @param str 要转化为数组的字符串
	 * @return 返回str转化成的数组
	 */
	private String[] init(String str){
		String temp = str;
		String[] s = temp.split("");
		return s;
	}

本来想将实现匹配公共子序列的矩阵的步骤的图贴上来的，但是不知道怎么用这个东西贴，真头疼....

   main方法测试：

	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		String s1 = "ABCBDAB";
		String s2 = "BDCABA";
		CountMaxSerial cms = new CountMaxSerial();
		String[] x = cms.init(s1);
		String[] y = cms.init(s2);
		int[][] b = new int[x.length][y.length];
		
		System.out.println("最大子序列的长度为："+lcsLength(x, y, b));
		System.out.println("最大子序列为：");
		lcs(x.length-1, y.length-1, x, b);
		
	}