`

【差分约束(spfa版)】总结

阅读更多
KIDx 的解题报告


先总结下:

第一:
感觉难点在于建图
第二:
①:对于差分不等式,a - b <= c ,建一条 b 到 a 的权值为 c 的边,求的是最短路,得到的是最大值
②:对于不等式 a - b >= c ,建一条 b 到 a 的权值为 c 的边,求的是最长路,得到的是最小值
③:存在负环的话是无解
④:求不出最短路(dist[ ]没有得到更新)的话是任意解

第三:
一种建图方法:
设x[i]是第i位置(或时刻)的值(跟所求值的属性一样),那么把x[i]看成数列,前n项和为s[n],则x[i] = s[i] - s[i-1];
那么这样就可以最起码建立起类似这样的一个关系:0 <= s[i] - s[i-1] <= 1;
其他关系就要去题目探索了

回到上面那些题目:

第一题:【POJ 1201/ZOJ 1508/HDU 1384 Intervals】
http://poj.org/problem?id=1201
题意:求符合题意的最小集合的元素个数
设x[i]是{i}这个集合跟所求未知集合的交集元素个数,明显最大只能是1
再设s[i] = x[0] + x[1] + …… + x[i]
明显的,s[i]表示集合{0,1,2,3,……,i}与所求未知集合的交集元素个数
那么就有x[i] = s[i] - s[i-1]
∵0 <= x[i] <= 1
∴0 <= s[i] - s[i-1] <= 1
由于题目求最小值,所以是最长路,用的是a - b >= c这种形式
即有:①s[i] - s[i-1] >= 0; ②s[i-1] - s[i] >= -1;
按照题目输入a, b, c:
表示{a,a+1,a+2,……,b}(设这个集合是Q)与所求未知集合的交集元素个数至少为c
而s[a-1]表示{1,2,3,……,a-1}与所求未知集合的交集元素个数
s[b]表示{1,2,3,……,a-1,a,a+1,a+2,……,b}与所求未知集合的交集元素个数
∴Q = s[b] - s[a-1];
即可建立关系: ③s[b] - s[a-1] >= c;
但是还有一个问题a >= 0,那么a-1有可能不合法
解决方法:所有元素+1就可以了
实现:把③变成 s[b+1] - s[a] >= c;

第二题:【POJ 1275/ZOJ 1420/HDU 1529 Cashier Employment】
http://poj.org/problem?id=1275
文章最后有附上这题的代码。
这题是这里面最难的一题,建图难,而且难以找出所有约束条件

先说明一下,这里我把编号设定为1-24,而不是题目的0-23,并且设0为虚点
设x[i]是实际雇用i时刻开始工作的员工数
R[i]是题目需要的i时刻正在工作的最少员工数
注意了,i时刻开始工作i时刻正在工作是完全不同的
设s[i] = x[1] + x[2] + …… + x[i]
则s[i]表示1-i这段时间开始工作的员工数
再设num[i]表示i时刻开始工作最多可以雇用的员工数
∴有0 <= x[i] <= num[i]
即 0 <= s[i] - s[i-1] <= num[i]
由于是求最小值,所以用最长路
则有:①s[i] - s[i-1] >= 0;②s[i-1] - s[i] >= -num[i];
(1 <= i <= 24,虽然0是虚点,但是s[1] - s[0]也是必要的!因为x[1]也是有范围的!)
由于员工可以持续工作8个小时(R[i]是i时刻正在工作的最少人数)
∴x[i-7] + x[i-6] + …… + x[i] >= R[i]【i-7开始工作的人在i时刻也在工作,其他同理】
即:③s[i] - s[i-8] >= R[i] (8 <= i <= 24)
但是有个特殊情况,就是从夜晚到凌晨的一段8小时工作时间
(x[i+17] + …… + x[24]) + (x[1] + x[2] + …… + x[i]) >= R[i];
则:s[24] - s[i+16] + s[i] >= R[i];
整理一下:④s[i] - s[i+16] >= R[i] - s[24];
(1 <= i < 8,注意i=0是没有意义的,因为R[0]没有意义)
由于s[24]就是全天实际雇用的人数,而一共有n个员工可以雇用
所以设ans = s[24]
则:⑤s[i] - s[i+16] >= R[i] - ans;( 1 <= i < 8 )
所以就可以从小到大暴力枚举ans【或二分枚举】,通过spfa检验是否有解即可【存在负环无解】
但是还有一个问题,起点在哪里……
这时候虚点0就起作用了,我称它为超级起点
于是建图后直接判断spfa(0)是否有解就可以了
PS:还有另外一个条件必须用到……:⑥s[24] - s[0] >= ans]
不用这个条件二分枚举ans可以AC,但这只是数据问题,暴力从小到大枚举木有这条件就会错,所以说这个条件最关键而又难找……要仔细找特殊点和虚点的约束关系

第三题:【POJ 1364/ZOJ 1260/HDU 1531 King】
http://poj.org/problem?id=1364
设s[i] = a[1] + a[2] + …… + a[i];
a[Si] + a[Si+1] + ... + a[Si+ni] = s[Si+ni] - s[Si-1];
所以由题意有:
①s[Si+ni] - s[Si-1] > ki
或②s[Si+ni] - s[Si-1] < ki
由于只是检验是否有解,所以最短路或最长路都可用,以下是最短路要建立的关系:
把①化为:s[si-1] - s[si+ni] <= - ki - 1
把②化为:s[si+ni] - s[si-1] <= ki - 1

第四题:【ZOJ 1455/HDU 1534 Schedule Problem】
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1455
设第i项工作持续时间为v[i],开始时间s[i],那么结束时间就是s[i]+v[i]
SAS: s[a] >= s[b] ---> s[a] - s[b] >= 0
FAS: s[a] + v[a] >= s[b] ---> s[a] - s[b] >= -v[a]
SAF: s[a] >= s[b] + v[b] ---> s[a] - s[b] >= v[b]
FAF: s[a] + v[a] >= s[b] + v[b] ---> s[a] - s[b] >= v[b] - v[a]

直接最长路建图就可以了

第五题:【HDU 3440 House Man】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3440
此题难度仅次于第二题,需要深刻理解差分约束
题意:按照序号从左往右放置房子,求最后从低到高跳到所有房子的【最大总水平路程
设s(b) - s(a) <= K(一个常数)表示【设a,b为序号】:
b到a的距离 <= K,但是必须定一个规则,a在左边还是b在左边?
这里设a,b是x轴上的点,再设b > a
所以这样的情况下规则就是:【s(序号大的) - s(序号小的)】才表示:【b到a之间的距离】这个意义
当然可以设另一种规则---【序号小-序号大】表示距离---,总之要一致!
按照第一种规则有以下关系:
①位置相邻:
s(i) - s(i-1) >= 1 ---> s(i-1) - s(i) <= -1
②高度相邻(排序后):【num表示a[i]这间房子的序号】
s(max(a[i].num,a[i-1].num))-s(min(a[i].num,a[i-1].num)) <= D
建图后只要这样:
spfa (min (a[1].num, a[n].num));
printf ("%d\n", dist[max (a[n].num, a[1].num)]);

答案就出来了
另外推荐这种方法!比较简单:http://hi.baidu.com/tju_ant/blog/item/f22fe6d92809033833fa1c08.html

第六题:【HDU 3592 World Exhibition】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3592
按照题目明显条件建立关系式立刻水过
但是我觉得它数据很水……
题目说:Assume that there are N (2 <= N <= 1,000) people numbered 1..N who are standing in the same order as they are numbered
也就是说人是按序号排的啊
那应该还有一个约束条件才对吧:s(i) - s(i-1) >= 0;
就像这组数据:
1
3 2 1
1 2 1
1 3 2
2 3 3
要按序号排队不可能满足,应该输出-1
总之要不要这个约束条件都能AC……我特么的彻底无语了


第七题:【HDU 3666 THE MATRIX PROBLEM】
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3666
这题spfa用队列卡数据容易超时,用栈吧……
由题意得对于矩阵每个元素【设为w,处于矩阵第i行,第j列
L <= w*a[i]/b[j] <= U
两边取对数有:
lg(L) <= lg(w)+lg(a[i])-lg(b[j]) <= lg(U)
按照最长路整理得【也可以用最短路】:
①lg(a[i])-lg(b[j]) >= lg(L)-lg(w);②lg(b[j])-lg(a[i]) >= lg(w)-lg(U)
把a和b数组合并成一个数组s得【a有n个元素,b有m个元素,这里把b接在a数组后面】:
①s(i) - s(j+n) >= lg(L) - lg(w)
②s(j+n) - s(i) >= lg(w) - lg(U)

最后加个超级起点即可
我把0作为超级起点:
for (i = 1; i <= n + m; i++)
    addedge (0, i, 0);
spfa (0);



最后弱弱的献上第二题代码:
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
#define M 25

struct edge{
    int v, w, next;
}e[5*M];
bool inq[M];
int dist[M], pre[M], n = 24, cnt, ind[M];

void init ()
{
    memset (pre, -1, sizeof(pre)); cnt = 0;
}
void addedge (int u, int v, int w)
{
    e[cnt].v = v; e[cnt].w = w; e[cnt].next = pre[u]; pre[u] = cnt++;
}
bool spfa (int u)
{
    int i, v, w;
    for (i = 0; i <= n; i++)
    {
        dist[i] = -inf;
        inq[i] = false;
        ind[i] = 0;
    }
    queue<int> q;
    q.push (u);
    inq[u] = true;
    dist[u] = 0;
    while (!q.empty())
    {
        u = q.front();
        if (++ind[u] > n)
            return false;
        q.pop();
        inq[u] = false;
        for (i = pre[u]; i != -1; i = e[i].next)
        {
            v = e[i].v;
            w = e[i].w;
            if (dist[u] + w > dist[v])
            {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if (!inq[v])
                {
                    q.push (v);
                    inq[v] = true;
                }
            }
        }
    }
	return true;
}

int main()
{
	int t, R[M], num[M], i, pos, m, l, r, ans;
	scanf ("%d", &t);
	while (t--)
	{
		for (i = 1; i <= n; i++)
			scanf ("%d", R+i);
		scanf ("%d", &m);
		memset (num, 0, sizeof(num));
		for (i = 0; i < m; i++)
		{
			scanf ("%d", &pos);
			num[pos+1]++;
		}
		l = 0, r = m;
		bool flag = true;
		while (l < r)		//二分枚举ans
		{
			init();
			ans = (l+r) / 2;
			for (i = 1; i <= n; i++)
			{
				addedge (i-1, i, 0);			//s[i] - s[i-1] >= 0
				addedge (i, i-1, -num[i]);		//s[i-1] - s[i] >= -num[i]
			}
			for (i = 8; i <= n; i++)
				addedge (i-8, i, R[i]);			//s[i] - s[i-8] >= R[i]
			for (i = 1; i < 8; i++)
				addedge (i+16, i, R[i]-ans);	//s[i] - s[i+16] >= R[i] - ans
            addedge (0, 24, ans);			    //s[24] - s[0] >= ans
			if (spfa (0))
				r = ans, flag = false;
			else l = ans + 1;
		}
		if (flag)
			puts ("No Solution");
		else printf ("%d\n", r);
	}
    return 0;
}
  • 大小: 4.5 KB
3
1
分享到:
评论
2 楼 chriszeng87 2011-10-07  
基德KID.1412 写道
如有错,请大师指出,不胜感激

有没有错不知道,这么晚了,还是十一,该休息了,身体是革命的本钱,乔帮主千秋万载,一统江湖! 搞ACM也要休息,休息!
1 楼 基德KID.1412 2011-10-06  
如有错,请大师指出,不胜感激

相关推荐

    差分约束系统

    ### 差分约束系统及其应用解析 #### 一、差分约束系统概念 差分约束系统是一种用于解决...而SPFA算法作为高效的求解策略,进一步增强了差分约束系统在实际应用中的价值,特别是在处理大规模数据集和复杂网络模型时。

    差分约束系统详解.doc

    总结来说,差分约束系统是处理线性不等式约束的有效工具,它通过构建约束图并利用图算法来求解问题。理解和应用差分约束系统可以帮助我们解决涉及变量顺序或相对大小的优化问题,比如在旅行商问题、调度问题和其他...

    详细差分约束系统详解

    SPFA 算法可以用来优化差分约束问题的求解,复杂度为 O(km),其中 k 为常数。 实例 考虑这样一个问题,寻找一个 5 维向量 x=(xi)以满足:x1-x2≤0、x1-x5≤-1、x2-x5≤1、x3-x1≤5、x4-x1≤4、x4-x3≤-1、x5-x3≤-3...

    差分约束系统例题详解[总结].pdf

    差分约束系统(Differential Constraint ...通过理解差分约束系统,掌握最短路径算法如贝尔曼-福特和SPFA,以及优化技巧,可以有效解决这类序列约束问题。在实际编程竞赛或软件开发中,这类算法和技巧是非常有用的工具。

    差分约束系统例题详解

    差分约束系统是一种在计算机科学和数学中用于解决优化问题的方法,特别是在图论和最优化领域。它通过定义变量之间的差异关系来建模问题,通常用于处理线性不等式系统。在这个例题中,差分约束系统被用来解决一个序列...

    差分约束系统详解

    差分约束系统是一种用于建模和解决线性不等式约束问题的方法,它涉及到一系列变量之间的差异关系。在这样的系统中,线性规划矩阵 \( A \) 的结构特殊,每行包含一个 1 和一个 -1,其余元素为 0。这种结构确保了约束...

    差分约束系统题解1

    【差分约束系统】是一种用于解决一系列线性不等式约束问题的模型,常用于最优化问题,如求解最短路径、最长路径或者判断是否存在满足条件的解。在这个模型中,我们通常需要将问题转化为寻找图中的最短路径或最长路径...

    SPFA算法.doc

    在实际应用中,例如POJ 1201 "Intervals" 这样的问题,SPFA可以用来解决差分约束系统。差分约束系统是一类线性不等式约束问题,可以通过构造有向图并利用SPFA求解最短路径来找出满足条件的整数序列。在这个问题中,...

    SPFA算法的优化及应用

    1. **差分约束系统**:在处理这类问题时,SPFA算法可以用来检测是否存在满足给定差分约束的解。 2. **动态规划中的应用**:在某些动态规划问题中,状态转移可能存在阶段性不明显的情况,此时使用SPFA算法可以帮助...

    chafenyueshu.rar_visual c

    总结来说,这个压缩包包含了一个使用Visual C++实现的程序,该程序使用SPFA算法解决了差分约束系统的问题,这在ACM竞赛中是一个常见的算法挑战。通过分析“chafenyueshu.txt”文件,我们可以深入理解如何利用图论...

    最短路问题

    该PPT讲了求最短路算法SPFA,Bellman-Ford和Floyed-Warshall算法,还拓展了差分约束。十分适合初学者用

    图论模板详细

    - 差分约束(SPFA):差分约束系统是图论中的一个概念,用于解决线性不等式组问题,SPFA算法可以用来求解差分约束系统的解。 2. 生成树问题: - 最小生成树Prim算法:用于求加权无向图的最小生成树,其核心思想是...

    图论总结by amber

    差分约束系统 System of difference constraints 1.6.2.1.2.2. 有向无环图上的最短路 Shortest paths in DAG 1.6.2.2. 所有顶点对间最短路 All-pairs shortest paths 1.6.2.2.1. 基本算法 Basic algorithms 1.6.2.2...

    ACM-ICPC_algorithm_template.pdf

    + 差分约束系统 + 最短路径模版(Floyd-Warshall) + 最短路径模版(Floyd-Warshall) 稍稍优化的版本 + 最短路径模版(Johnson) + 最短路径 BFS+DP 模版 (启示作用) + 第 K 短路(Dijkstra + A*)(经典) + 第...

    山东大学ACM模板-图论

    4. **差分约束系统**:这是一个用于求解线性不等式系统的框架,常用于求解最短路径问题和其他优化问题。 5. **K短路**:K短路问题是在一个图中找出起点到终点的K条最短路径,可以用于交通网络规划等领域。A*搜索...

    9、省选+NOI-第九部分 博弈论_2020.08.29.pdf

    * 差分约束最小生成树(Kruskal、Prim) * 并查集(扩展域) * 拓扑排序 * 二分图染色 * 二分图匹配 * Tarjan 找 SCC、桥、割点 * 缩点 * 分数规划树 * 树上倍增(LCA) * 树的直径 * 树的重心 * DFS 序 * 树链剖分 ...

    ACM算法模板和pku代码

    图论 差分约束 Intervals bellman_ford Intervals SPFA 出纳员的雇佣 不等式组 图论 割边 图染色 拓扑 树 欧拉路径) 割点+统计删除后剩下多少连通图 删除一个点使得连通分量最多 图染色 拓扑排序全部序列 ...

Global site tag (gtag.js) - Google Analytics