楼层扔鸡蛋问题

有限层数和蛋数，求即使最坏情况下需要的最少判断次数

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。

 

这是典型的动态规划问题。假设f[n]表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体 n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i]) 次。

 

状态转移方程：f[n] = min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n } 
初始条件: f[0]=0 （或f[1]=1）

 

实际上，两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决，前提是你知道该怎么扔：

一种想法是第一个鸡蛋折半搜索，如100层的楼，先从50层扔下去，如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索；如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索；如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔，依此类推。这种方法不是最优，因为最坏情况下安全位置恰好是49层，需要尝试50次。

正确的方法是先假设最少判断次数为x，则第一个鸡蛋第一次从第x层扔（不管碎没碎，还有x-1次尝试机会）。如果碎了，则第二个鸡蛋在1～x-1层中线性搜索，最多x-1次；如果没碎，则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔（现在还剩x-2次尝试机会）。如果这次碎了，则第二个鸡蛋在x+1～x+(x-1)-1层中线性搜索，最多x-2次；如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔，依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x- 2)+...+1=x(x+1)/2。

比如100层的楼，只要让x(x+1)/2>=100，得x>=14，最少判断14次。具体地说，100层的楼，第一次从14层开始扔。碎了好说，从第1层开始试。不碎的话还有13次机会，再从14+13=27层开始扔。依此类推，各次尝试的楼层依次为

 

14
27 = 14 + 13
39 = 27 + 12 
... 
99 = 95 + 4
100

 

现在推广成n层楼，m个鸡蛋：

还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m] 次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。

 

状态转移方程：f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n }
初始条件：f[i,0]=0 （或f[i,1]=i），对所有i

 

 

原文地址：http://www.cnblogs.com/ltang/archive/2010/11/23/1885791.html