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定义:并查集是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。集就是让每个元素构成一个单元素的集合,并就是按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。
l 并查集的精髓(即它的三种操作,结合实现代码模板进行理解):
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变)。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合,其精髓是找到这个元素所在集合的祖先!这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合,也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先,具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单:利用Find_Set找到其中两个集合的祖先,将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图
l 并查集的优化
1、Find_Set(x)时 路径压缩 2、Union(x,y)时 按秩合并
寻找祖先时我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度,有没有办法减小这个复杂度呢?
答案是肯定的,这就是路径压缩,即当我们经过"递推"找到祖先节点后,"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示;可见,路径压缩方便了以后的查找。
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。
主要代码实现:
int Find_Set(int x)
{
if (x!=p[x])
p[x]=Find_Set(p[x]);
return p[x];
}
void Union(int x,int y)
{
x=Find_Set(x);
y=Find_Set(y);
if(x==y)
return;
if (rank[x]>rank[y])
{
p[y]=x;
num[x]+=num[y];
}
else
{
p[x]=y;
if (rank[x]=rank[y])
rank[x]++;
num[y]+=num[x];
}
}
POJ1611:
题目大意:SARS(非典型肺炎)传播得非常厉害,其中最有效的办法是隔离那些患病、和患病者接触的人。现在有几个学习小组,每小组有几个学生,一个学生可能会参加多个小组。小组中只要有一个人得病,其余的都是嫌疑人。现在已知这些小组的人员,且0号学生已经患病,求一共有多少个嫌疑人。
分析:每个小组的人员属于同一个集合。在根节点记录每个集合的个数num[i],然后找到0所属的根节点,num[findSet(0)]即为所有的嫌疑人数。
#include <iostream> const int Max=30001; int p[Max],rank[Max]; int num[Max];//元素个数 int Find_Set(int x) { if (x!=p[x]) p[x]=Find_Set(p[x]); return p[x]; } void Union(int x,int y) { x=Find_Set(x); y=Find_Set(y); if(x==y) return; if (rank[x]>rank[y]) { p[y]=x; num[x]+=num[y]; } else { p[x]=y; if (rank[x]=rank[y]) rank[x]++; num[y]+=num[x]; } } int main() { int i,j,k,n,m; int a,b; int s1,s2; while (true) { scanf("%d %d",&n,&m); if(n==0&&m==0) break; for (i=0;i<n;i++) { p[i]=i; rank[i]=0; num[i]=1; } for (i=0;i<m;i++) { scanf("%d",&k); scanf("%d",&a); for (j=1;j<k;j++) { scanf("%d",&b); s1=Find_Set(a); s2=Find_Set(b); Union(s1,s2); /*a=i;*/ } } i=Find_Set(0); printf("%d",num[i]); } return 0; }
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