[概念]算法的复杂度 [整理]

同一个问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。

 

对一个算法的性能的评价主要从时间复杂度 和空间复杂度 来考虑，二者合称为算法复杂度 。

1、时间复杂度

（1）时间频度
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

（2）时间复杂度
在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度的概念。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n), 使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)), 称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度 ，简称时间复杂度。O是数量级的符号。

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

 

常数阶	对数阶	线性阶	线性对数阶	平方阶	立方阶	……	K次方阶	指数阶
O(1)	O(log2 n )	O(n)	O(nlog2 n)	O(n2 )	O(n3 )		O(nk )	O(2n )

        复杂度低 ---->---->---->---->---->---->---->---->---->---->---->---->----> 复杂度高

 

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

2、空间复杂度

与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:

S(n)=O(f(n))

我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

 

 

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常用的算法的时间复杂度和空间复杂度：

排序法	平均时间	最差情形	稳定度	额外空间	备注
冒泡	O(n2 )	O(n2 )	稳定	O(1)	n较小时较好
交换	O(n2 )	O(n2 )	不稳定	O(1)	n较小时较好
选择	O(n2 )	O(n2 )	不稳定	O(1)	n较小时较好
插入	O(n2 )	O(n2 )	稳定	O(1)	大部分已排序时较好
基数	O(logR B)	O(logR B)	稳定	O(n)	B是真数(0-9)， R是基数(个十百)
Shell	O(nlogn)	O(ns ) 1<s<2	不稳定	O(1)	s是所选分组
快速	O(nlogn)	O(n2 )	不稳定	O(nlogn)	n较大时较好
归并	O(nlogn)	O(nlogn)	稳定	O(1)	n较大时较好
堆	O(nlogn)	O(nlogn)	不稳定	O(1)	n较大时较好

(引用自：各种排序的稳定性和复杂度小结 )