欧几里德(最大公约数)

也就是常说的辗转相除法。

最早我们理解的都是通过减法实现的，如下面递归方式：

long gcd (long m, long n)
{
  if (m==n) return n;
  else if(m<n) return gcd(m, n-m);
  else return gcd(m-n, n);
}

其实，取模效率要高很多。如下面公式所示：

gcd(a, b) = gcd (b, a%b)

long gcd ( long a, long b)
{
  if (b==0) return a;
  return gcd(b, a%b);
}

非递归方式实现也很简单：

long gcd (long a, long b)
{
  while (b>0)
  {
    long r = a%b;
    a = b;
    b = r;
  }  
}

实现起来虽然比较简单，原理却不是一下就能想通。
因此推导一下，如果a>b>0， 且r=a%b。

a = b*k + r
若d为a和b的一个约数，则d也是r的一个约数
即：
a = d*k1
b = d*k2
r = a - b*k = d*k1 - d*k*k2 = d*(k1 - k*k2)
d|b, d|a <-> d|r

然后就有：
(d|a)∧(d|b) <-> (d|b)∧(d|r), ∧表示同时成立。

找到第一个d就是最大公约数了，当k=1的时候就是减法的特例了。

复杂度方面有个推论：O(lg(n)), n=max(a, b)