B 树、B-树、B+树、B*树

B树

       即二叉搜索树：

       1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（ Left和 Right）；

       2. 所有结点存储一个关键字；

       3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键 字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

       如：

 

       B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等， 那么就命中；

否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入

右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

       如果 B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么 B树

的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变 B树结构

（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

       如：

      

   但 B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

   右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的

树结构索引；所以，使用 B树还要考虑尽可能让 B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就

是所谓的“平衡”问题；       

       实际使用的 B树都是在原 B树的 基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持 B树

结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法 是一种在 B树中插入和删除结点的

策略；

 

 

B-树

       是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

       1. 定义任意非叶子结点最多只有 M个儿子；且 M>2；

       2. 根结点的儿子数为 [2, M]；

       3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数 为 [M/2, M]；

       4. 每个结点存放至少 M/2-1（取上整）和至多 M-1个关键字；（至少 2个关键字）

       5. 非叶子结点的关键字个数 =指向儿子的指针个数 -1；

       6. 非叶子结点的关键字： K[1], K[2], …, K[M-1]；且 K[i] < K[i+1]；

       7. 非叶子结点的指针： P[1], P[2], …, P[M]；其中 P[1]指向关键字小于 K[1]的

子树， P[M]指向关键字大于 K[M-1]的子树，其它 P[i]指向关键字属于 (K[i-1], K[i])的子树；

       8. 所有叶子结点位于同一层；

       如：（ M=3）

       B-树的搜索，从根结点开 始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果

命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点； 重复，直到所对应的儿子指针为

空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

       1. 关键字集合分布在整颗树中；

       2. 任何一个关键字出现且只出现在一个 结点中；

       3. 搜索有可能在非叶子结点结束；

       4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做 一次二分查找；

       5. 自动层次控制；

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点， 至少含有 M/2个儿子，确保了结点的至少

利用率，其最底搜索性能为：

 

       其中， M为设定的非叶子结点最多子树个数， N为关键字总数；

       所以 B-树的性能总是等价于二分查找（与 M值无关），也就没有 B树 平衡的问题；

       由于 M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占

M/2的结点；删除结点时，需将两个不足 M/2的兄弟结点合并；

 

 

B+树

       B+ 树是 B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       1. 其定义基本与 B-树同，除了：

       2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数 相同；

       3. 非叶子结点的子树指针 P[i]，指向关键字值属于 [K[i], K[i+1])的子树

（ B-树是开区间）；

       5. 为所有叶子结点增加一个链指针；

       6. 所有关键字都在叶子结点出现；

       如：（ M=3）

   B+的搜索与 B-树也基本相同，区别是 B+树只有达到叶子结点才命中（ B-树可以在

非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+ 的特性：

       1. 所有关键字都出现在叶子结点的链表 中（稠密索引），且链表中的关键字恰好

是有序的；

       2. 不可能在非叶子结点命中；

       3. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引 （稀疏索引），叶子结点相当于是存储

（关键字）数据的数据层；

       4. 更适合文件索引系统；

 

B*树

       是 B+树的变体，在 B+树 的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

   B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为 (2/3)*M，即块的最 低使用率为 2/3

（代替 B+树的 1/2）；

       B+ 树的分裂：当一个结点满时，分配一 个新的结点，并将原结点中 1/2的数据

复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针； B+树的分裂只影响原结点和父

结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

       B* 树的分裂：当一个结点满时，如果它 的下一个兄弟结点未满，那么将一部分

数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字

（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之

间增加新结点，并各复制 1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

       所以， B*树分配新结点的概率比 B+树要低，空间使用率更高；

 

小结

       B 树：二叉树，每个结点只存储一个关键 字，等于则命中，小于走左结点，大于

走右结点；

       B- 树：多路搜索树，每个结点存储 M/2到 M个关键字，非 叶子结点存储指向关键

字范围的子结点；

       所有关键字在整颗树中出现，且只出现一 次，非叶子结点可以命中；

       B+ 树：在 B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点

中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引； B+树总是到叶子结点才命中；

       B* 树：在 B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率

从 1/2提高到 2/3；

 原文地址 http://blog.csdn.net/manesking/archive/2007/02/09/1505979.aspx