求解大规模有向图的所有连通分量

              一 超大规模的稀疏图中的连通分量求解
背景
      某地图厂商，需要检查道路网是否是连通的，比如是否存在孤岛（不能到达，也不能外出）？通常情况下，如果存在孤岛，说明道路勘测有问题。因此，随之而来的问题是：
（1）不考虑道路方向，是否所有道路都是连通的？
（2）如果考虑道路方向，是否任意2条道路均可以相互可达，如果不可以，输出可达情况，如存在path(u,v)，但是不存在path(v,u)。
   由于地图道路数据十分庞大，因此需要一个快速的算法/策略来实现目标，附加要求，内存不超过4G，时间4个小时，道路网，大约40M个点和40M条边。
这里先不假定这个附加要求的合理性，比如40m个点或者边可能是分布式存储。

 
无向图
    表述：无向图G(E,V)中寻找各连通分量
1. 基本算法策略
    因为是无向图，因此，BFS（广度优先搜索）或者DFS（深度优先搜索）都可以用来求各连通分量，其算法复杂度均为O(V+E)。但是，通常，大规模图都是稀疏图，DFS会占用大量的存储空间，因此使用BFS更加有效。
   A. BFS算法
       这个基本上数据结构或算法基础类的书籍都有，因此不阐述。注意,虽然DFS也是可以的,但是,遍历过程中会产生一很深的栈，无论是时间还是空间效率考虑，这算法是不合适的。
  B. 等价关系算法
       等价类的划分，需要使用一种叫做disjoint set的数据结构。一条边E(u,v)相当于u和v存在等价关系，即满足自反（self-clousure）、对称sysmetry，传递（transitivity）。因此，可以使用disjoint set结构来实现。算法复杂度O(ma(n))。 Ackerman是一个增长极为缓慢的函数，因此也可以认定复杂度也是O(V+E)。
  C. 性能比较
      BFS略优于Disjoint-set等价关系算法
最终，采用的是等价关系算法。理由：等价关系算法是个online算法，可以任意增加一条边，而不需要重新构造图G；不需要遍历vertex；适合分布式处理。

 
有向图

 

 

 

     有向图的计算，实现难度要比无向图高很多。主要存在空间限制。为此，采用Divide & conquer思想来设计。很类似于分布式中的Map Reduce概念。
     基本原理类同Map & Reduce，但是需要注意的：
A. 单机多线程并不能提高运行速度。实际上处理速度很快，主要瓶颈在存储空间限制。因此提高IO性能能够显著提高计算效率。
B. 主要限制在内存。因此需要使用外存来辅助进行归并。
1. 算法步骤
步骤：分为3个阶段：划分子图、计算子图、归并子图
(1) 划分子图（Partition Phase）
     将数据分成各个partition，每个partition是一个独立的子图。
这里需要一个先验性的假设，划分子图能够较好的内聚性，即相邻的vertex划分后大多聚集在一个table中。
不能像普通的map-reduce的按照随机原则来划分。

     在道路网状中，最好的方式是通过经纬度坐标来实现聚类划分。具体实现方式可以采用网格索引（速度最快，简单明了，但可能不够均匀和平衡）。
     实际上，地图厂商都是按照省，或者城市来处理的，比如均匀网格划分的。因此，每个省作为一个子图是很合适，一个省的地图数据量完全可以在4G内存中完成。
     图的划分用2种方式：Split Vertex 和Split Edges。
     这里划分是边划分即Split Edges，即不切割顶点，只切割与顶点相关的边。
需要将所有切割的边保存，在后面的归并阶段需要使用。
(2) 计算子图(Do Phase)
     <1> 求连通分量，执行SCC算法。——Robert Tarjan的强连通分量算法
            计算完子图的连通性后，需要保存各子图以及该子图连通关系。
由于内存限制，每个子图通常需要保存为文件file(i)。用subgraph(i)表示相应第i个子图， scc(i,j)，表示第i个子图，第j个强连通分量。
    <2> 构建新坍缩子图
           第i个子图对应的新的坍缩子图记为collapse_subgraph(i)。通常该子图也保存为文件。
           A. 顶点集合。对改图的第j个连通分量Scc(j),使用该连通分量某个顶点（通常是Tranjan算法中，深度优先搜索生成树的根Root），记为root(u)，作为新子图collpase_subgraph(i)的顶点集合。即原始顶点u所在连通分量都使用同一个顶点root(u)代替。
           B. 边集合。添加各连通分量之间的边（从原始子图subgraph(i)中获得）到新collpase_subgraph(i)中，不需要添加重复边，如连通分量A，可以通过顶点a1，a2到达连通分量B，但从A到B仅需要添加一条边。
           C. Collapse_subgraph实际上是个DAG图。当然可能存在独立的相互间都不可达的子图。这种容易出现在划分边界处。
(3) 归并子图 (Reduce)
     归约过程也是一个合并图，并求其scc的过程。
    以归约2个子图subgraph(i)和subgraph(j)为例： 
    找到步骤（2）子图i、j，subgraph(i)，subgraph(j)对应的坍缩子图collapse(i)，collapse(j)。
创建一个新的归并图merge_graph，将collapse(i)，collapse(j)作为mergegraph的子图。（即添加其所有顶点和边到新的merge_graph中）。
         <1> 对所有在步骤(1)中划分的边E(u,v)，该边u、v满足分别属于两个子图i，j。
root(u), root(v)，添加边E’(root(u),root(v)到新的merge_graph。同样，不需要添加重复边。
此时生成的是一个新的归并mergegraph。
通常是2个逻辑上相邻的子图进行归并，两两归并。因此，假设当前有N个子图，本趟归并需要[N/2 ]次。
(4) 循环
对步骤3生成的每个归并图merge_graph,重复步骤（2）、步骤(3),直到所有临时结果都已经归并。
2. 注意事项
在步骤2,3中，
第i个子图subggraph(i)中所有关联的顶点可以通过文件file(i)得到，但要查询某个顶点所在的子图（步骤2），需要使用hash表或者数据库。由于内存限制，最好使用数据库，如果使用文件，也需要单独对其建立索引，否则该步查找效率低，特别是频繁查找两个子图连接的分割边e(u,v)，u，v属于两个不同的子图。另外，每次归并都需要保存临时结果。
由于I/O是程序瓶颈，需要建立合适的索引来检索顶点、边是，以减少整个程序的运行时间。
3. 算法分析
      算法非常类似与排序算法的归并算法，因此，总归并次数为N-1次。每次求连通分量时间复杂度O(V+E)，空间复杂度O(V)。算法性能，非常依赖于图的划分，由于涉及到的是地图，道路通常是连接地理上相邻的点，因此，按照坐标区域即网格划分是适合的。（Graph partition，这是另外一个研究课题，参考文献丰富，如A FAST AND HIGH QUALITY MULTILEVEL SCHEME FOR PARTITIONING IRREGULAR GRAPHS   GEORGE KARYPIS  AND VIPIN KUMAR） 
    最坏情况下，整个网络，是一个无环有向图(DAG)，或者每次划分都不能有效的缩减求解规模。
4. 实际测试结果分析
在真实的地图中，道路图，是一个条件有向图，不能使用通常的G=(V,E)来表示。举例如下， L1经过C点，可通过L2到达L8，但是不能同L2到达L4，但是L0可经过点C，通过L2，左转到L4也可以直行到L8。
此时<L1，L2，L4>构成一个禁止转向边——条件边，它不同于相邻边的拓扑关系描述，如简单的静止左转或者右转，如图中L2到L4，是可以通过对偶图来去掉条件边的。对偶图转换，简单的看，是把原图中的边当成新图中顶点，原图中边与边的关系，作为新图中的边。

 

 

还有属性边，比如限重门，限宽、高门，时间域等。但这些与设计的算法思路无关。

以北京地图为例，15万个顶点，17万条边，大约29s完成scc求解（包含结果作为文件输出）。