集合的积

序偶与笛卡尔积

15.1.4  序偶

定义15.1-1 由两个元素x，y(允许x=y)按给定次序排成的二元组合称为一个有序对或序偶（Ordered pair），记作<x, y>，其中称x是序偶<x, y>的第一元素，y是序偶<x, y>的第二元素。

对定义我们指出：1.序偶是强调次序的，若x≠y，则<x, y>¹<y, x>。

2.序偶<x, y>可以看成是一种由两个元素组成的特殊集合，即<x, y>={x, {x, y}}。

定理15.1-3 对任意的序偶＜x, y＞=＜u, v＞的充要条件是x=u且y=v。

例15.1-5 设<2x+y, 5>=<10, x-3y>，求x，y。

解 由定理15.1-1列出如下方程组：

求解得x=5，y=0。

在实际问题中有时会用到有序3元组，有序4元组，…，有序n元组。

定义15.1-2 由n个元素x₁, x₂, …, x_n按给定顺序排列成的n元组合称为一个有序n元组（N-Type）（Vector），记作<x₁, x₂, …, x_n>，其中x_i称为它的第i元素，i=1,2,…,n。

有序n元组可用序偶递归地定义，若已经定义了有序的(n -1)元组<x₁, x₂, …, x_n-1>（n≥3），有序n元组可定义为<x₁, x₂, …, x_n>=<<x₁, x₂, …, x_n-1>, x_n>。

例15.1-6  (1)若序偶的第一个元素为序偶<x, y>，第二个元素为z，此时将序偶<<x, y>, z>称为有序3元组，简记为＜x, y, z>。

(2)三维立体空间坐标系中点的坐标<1, -1, 3>，<2, 7.5, 0>等都是有序3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。

同样＜x₁, x₂, …, x_n＞=＜y₁, y₂, …, y_n＞的充要条件是x_i=y_i，i=1, 2, …, n。

15.1.5  笛卡尔积

定义15.1-3 设A，B是任意集合，以A中元素作第一元素，B中元素作第二元素生成的所有序偶的集合称为A，B的笛卡尔积（Descartes Product），记作A×B。即A×B={<x，y>½x A∧y B}。

由笛卡尔积的定义，对于有限集合可以进行多次的笛卡尔积运算。

定义15.1-4 定义A₁´A₂´…´A_n=(A₁´A₂´…´A_n-1)´A_n，称为集合A₁, A₂, …, A_n的叉积。特别地，当A₁=A₂=…=A_n=A时，简记A₁´A₂´…´A_n为Aⁿ。

由定义，两集合的笛卡尔积仍是集合，所以可应用集合的运算，如并、交、差、补。

例15.1-7 设集合A={x, y, z}，B={0, 1}, C={u, v}，求A×B, B×A, A×A, A×B×C,

(A×B)×C, A×(B×C), (A×B)∩(B×A)。

解 A×B={<x, 0>, <x, 1>, <y, 0>, <y, 1>, <z, 0>, <z, 1>}

B×A={<0, x>, <0, y>, <0, z>, <1, x>, <1, y>, <1, z>}

A×A={<x, x>, <x, y>, <x, z>, <y, x>, <y, y>, <y, z>, <z, x>, <z, y>, <z, z>}

A×B×C={<x, 0, u>, <x, 0, v>, <x, 1, u>, <x, 1, v>, <y, 0, u>, <y, 0, v>, <y, 1, u>, <y, 1, v>, <z, 0, u>, <z, 0, v>, <z, 1, u>, <z, 1, v>}

(A×B)×C={<<x, 0>, u>, <<x, 0>, v>, <<x, 1>, u>, <<x, 1>, v>, <<y, 0>, u>, <<y, 0>, v>, <<y, 1>, u>, <<y, 1>, v>, <<z, 0>, u>, <<z, 0>, v>, <<z, 1>, u>, <<z, 1>, v>}

={<x, 0, u>, <x, 0, v>, <x, 1, u>, <x, 1, v>, <y, 0, u>, <y, 0, v>, <y, 1, u>, <y, 1, v>, <z, 0, u>, <z, 0, v>, <z, 1, u>, <z, 1, v>}

A×(B×C)={<x, <0, u>>, <x, <0, v>>, <x, <1, u>>, <x, <1, v>>, <y, <0, u>>, <y, <0, v>>, <y, <1, u>>, <y, <1, v>>, <z, <0, u>>, <z, <0, v>>, <z, <1, u>>, <z, <1, v>>}

¹{<x, 0, u>, <x, 0, v>, <x, 1, u>, <x, 1, v>, <y, 0, u>, <y, 0, v>, <y, 1, u>, <y, 1, v>, <z, 0, u>, <z, 0, v>, <z, 1, u>, <z, 1, v>}

由笛卡尔积的定义可得，1．对于任意集合A，A´ = ， ´A= 。

2．笛卡尔积运算是不满足交换率：当A¹ ，B¹ ，A¹B时A´B≠B´A。

3．笛卡尔积运算是不满足结合率：因为(A´B)´C={<<x, y>, z>½x A, y B, z C}是三元组的集合,所以A´(B´C)≠(A´B) ´C。