动态规划：0/1背包问题

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动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。
比如01背包问题。

/* 一个旅行者有一个最多能用M公斤的背包，现在有N件物品，
它们的重量分别是W1，W2，...,Wn,
它们的价值分别为P1,P2,...,Pn.
若每种物品只有一件求旅行者能获得最大总价值。
输入格式：
M,N
W1,P1
W2,P2
......
输出格式：
X
*/

因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。
测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

 

 

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

 

当选择物品n时，物品1...n-1中所选择的物品的总价值，在容量m减去物品n的容量时的价值是最大的；

当不选择物品n时，物品1...n-1中所选择的物品的总价值，在容量m时的价值是最大的；

这就是最优子结构。

 

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗?

 

下面是实际程序:

#include<stdio.h>
int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/
int knapsack(int m,int n)
{
 int i,j,w[10],p[10];
 for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]);
 for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<100;j++)
           c[i][j]=0;/*初始化数组*/
 for(i=1;i<n+1;i++)
      for(j=1;j<m+1;j++)
           {
            if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/
                     {
                      if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])

                           /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/

                         /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/
                            c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];
                            else
                            c[i][j]=c[i-1][j];
                     }
              else c[i][j]=c[i-1][j];
            }
 return(c[n][m]);
                    
}
int main()
{
    int m,n;int i,j;
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one:\n");
    printf("%d",knapsack(m,n));
    printf("\n");/*下面是测试这个数组,可删除*/
     for(i=0;i<10;i++)
      for(j=0;j<15;j++)
         {
          printf("%d ",c[i][j]);
             if(j==14)printf("\n");
         }
    system("pause");
}