[统计学教程] 第六章 抽样推断

导读：
　　第六章 抽样推断
　　
　　一．参数与统计量
　　参数是指描述总体分布状况的数；
　　统计量是指由样本构造出来的数。
　　例如，一个班的学生的平均年龄为22岁，平均年龄即为班组总体的一个参数；在班级中抽出10名学生，了解其年龄，并根据10名学生的年龄计算平均数为21.5岁，则21.5即为由样本构造出来的统计量。
　　抽样推断，就是由统计量推断总体的过程。
　　
　　二．有放回条件下的简单随机抽样（Simple Random Sampling）误差计算
　　1．样本平均数的分布
　　从一个总体中抽出一部分单位，构成一个样本，可计算出一个样本平均数。
　　无数次抽选的结果，将会产生无数个样本平均数，这些样本平均数具有自己的分布形式。根据大数定理，当样本量超过30时，样本平均数的分布为正态分布。
　　2．基本公式
　　在有放回条件下，简单随机抽样的误差计算公式如下
　　
　　
　　3．统计推断
　　利用正态分布的特征，可以计算出落在各个区间内的概率。区间的大小一般可以用一个概率度来表示。
　　查标准正态分布表，可以获得下列概率度与概率值的对应关系
　　概率度（t） 概率值（ p ） 概率度（ t ） 概率值（ p ）
　　1.28 80% 1 68.27%
　　1.64 90% 2 95.45%
　　1.96 95% 3 99.73%
　　2.58 99%
　　考察这样一个例子：
　　某总体标准差为100，平均值为40，抽出一个36个单位构成的样本，试在95％的置信度水平下，估计样本平均数的范围。
　　从此例子可以逆推：
　　某总体标准差为100，其一个36个单位组成的样本的平均数为40，试在95％的置信度水平下，估计总体平均数的范围。
　　4．利用样本标准差推断总体标准差
　　在实践中，可以使用样本的标准差作为总体标准差的无偏估计量。
　　考察这样一个例子：
　　在一批材料中抽查20根测得重量数值如下（单位：公斤）
　　110 111 111 112 113 114 114 114 115
　　116 116 117 118 119 119 119 119 120
　　121 124
　　试估计这批材料的平均重量，在95％的置信度水平下列出置信区间。
　　5．无放回条件下的简单随机抽样误差
　　可以简化作
　　
　　三．影响抽样误差的因素
　　根据抽样误差的计算公式，可以看出，影响抽样误差的主要因素主要有下列四个方面：
　　1．目标总体的变异程度
　　目标总体的变异程度（）是影响抽样误差的最主要的因素之一，总体的变异程度越大，在确定样本下的抽样误差越大。
　　2．样本容量
　　对于一个确定的总体，减小抽样误差的主要手段就是增加样本量。从公式中可以知道，抽样误差与样本量的平方根成正比，欲使抽样误差缩小一半，必须使样本量增加到原来的四倍。
　　3．抽样方式
　　有放回抽样和无放回抽样的计算公式略有不同，如果采用无放回的方式，抽样误差会略小一些。
　　需要注意，在抽样比（）非常小的情况下，无放回抽样与有放回抽样的误差基本是相同的，可以利用有放回抽样的误差计算公式来代替无放回的情况。在这一公式中，没有总体单位数N的存在，也就是说，当抽样比非常小的情况下，总体单位数的大小对于抽样误差没有影响。
　　这就说明了为什么在大城市进行调查和在小城市进行调查，要获得同样的精度时，所需的样本量相差无几。
　　4．抽样的组织形式。
　　抽样的组织形式是纯随机抽样、分层抽样、整群抽样或者多阶段抽样等方式，各种方式都有对应的误差计算公式，不同情况下的抽样误差相差也比较大。
　　
　　四．样本量的计算
　　1．简单随机抽样条件下样本量的计算公式
　　样本量的计算方式是基于无放回简单随机抽样的误差计算公式
　　为使抽样估计的误差范围小于某个指定的，需要使样本量n的值满足下列式子：
　　由此计算出来的n是简单随机抽样条件下的样本量。
　　考虑这样一个例子：
　　已知某总体的标准差为100，欲在95％的置信度水平下使抽样估计的误差范围小于5，试求样本量。
　　2．总体标准差的估算方法
　　（1）根据以往的经验数值
　　对于一些连续进行的调查来说，使用过去的经验数据进行估算是有可能的。
　　（2）通过试访问进行估计
　　通过试访问的方法，先获得少数一部分样本的误差数据，然后根据这些数据去计算最终所需要的样本量，然后再将所需要的样本量完成。
　　（3）成数估计条件下采用的最大值法
　　在成数估计的条件下，方差的最大值为0.25，因此可以使用最大的方差作为推断最大样本量的基础。
　　（4）序贯抽样方法
　　所谓序贯抽样，是指依次抽取样本，每抽取一次，进行一次误差计算，直至达到所需要的精度。
　　
　　五．其他抽样方式的抽样误差计算
　　1．分层抽样（Stratified Sampling）
　　从计算公式中可以看到，层与层之间的误差不影响最终的抽样误差，因此，分层抽样应当努力使层间差异大，层内差异小。
　　当各层的调查费用相等时，样本的最优分配为
　　这一分配公式称为Neyman分配。
　　2．整群抽样（Cluster Sampling）
　　3．多阶段抽样（Multi-stage Sampling）
　　多阶段抽样的误差计算取决于各阶段的抽样方式，以最简单的二阶段抽样为例，如果每一阶段的抽选都是简单随机抽样，一阶单位的规模相同，则有下列公式：
　　其中：为第一阶段的抽样比，为第二阶段的抽样比。
　　为总体一阶单位间的方差；
　　为第二阶段的单位间方差。
　　4．设计效应的计算
　　当因子小于1时，说明抽样设计的效率高于SRS。
　　如果一个复杂抽样的因子可以估计，则对应相同精度的简单随机抽样样本量，复杂抽样设计的样本量为：