IEEE浮点数表示

Java 语言支持两种基本的浮点类型： float 和 double ，以及与它们对应的包装类 Float 和 Double 。它们都依据 IEEE 754 标准，该标准为 32 位浮点和 64 位双精度浮点二进制小数定义了二进制标准。

IEEE 754 用科学记数法以底数为 2 的小数来表示浮点数。IEEE 浮点数用 1 位表示数字的符号，用 8 位来表示指数，用 23 位来表示尾数，即小数部分。作为有符号整数的指数可以有正负之分。小数部分用二进制（底数 2）小数来表示，这意味着最高位对应着值 (2 ^-1)，第二位对应着 (2 ^-2)，依此类推。对于双精度浮点数，用 11 位表示指数，52 位表示尾数。IEEE 浮点值的格式如图 1 所示。

图 1. IEEE 754 浮点数的格式 


  

在上图中，s标识浮点数的符号（正值或负值，正值为0，负值为1）；exponent标识阶码（也称偏移量：浮点数为2⁸-1，双精度浮点数为2¹⁰-1）+指数；mantissa标识尾数。因为用科学记数法可以有多种方式来表示给定数字，所以要规范化浮点数，以便用底数为 2 并且小数点左边为 1 的小数来表示，按照需要调节指数就可以得到所需的数字。所以，例如：

²  数 1.25 可以表示为尾数为 1.01，指数为 0： (-1)⁰*(1.01)₂*2⁰

²  数 10.0 可以表示为尾数为 1.01，指数为 3： (-1)⁰*(1.01)₂*2³

 

具体实例如下：

²  0.5

0.5=（0.1）₂，尾数为1.0，指数为-1。浮点数尾数共23位，右侧以0补全即：100 0000 0000 0000 0000 0000，指数部分为2⁸-1+（-1）=（01111110）₂。符号位为0。由于浮点数的尾数第一位全部是1，所有省略尾数的第一位1。0.5=（0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000）₂。

²  1.5

1.5=（1.1）₂，尾数为1.1，指数为0，右侧以0补全即：110 0000 0000 0000 0000 0000，指数部分为2⁸-1+0=（01111111）₂。符号位为0，省略尾数第一位的1，即1.5=（0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000）₂。

²  -12.5

-12.5=（-1100.1）₂，尾数为1.1001，指数为3，浮点数尾数即：110 0100 0000 0000 0000 0000，指数部分为2⁸-1+3=（10000010）₂，符号位为1，省略尾数第一位的1，即-12.5=（1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000）₂。

 

附：小数的二进制表示法

 

0.02625=（0.000001101）₂，由于无法精确求出二进制表示，因此采用“四舍五入法”（逢1进，逢0舍）。