浮点数的表示和精度

如果a>0，那么1+a一定大于1吗？在数学上，答案是肯定的。但在计算机上，答案就与a的大小和浮点数的精度有关了。在matalb上，可以作以下计算：

>> a=1/2^52
a =
    2.220446049250313e-016

>> 1+a>1
ans =
     1

>> a=1/2^53
a =
    1.110223024625157e-016

>> 1+a>1
ans =
     0

可见，当a等于1/2^53时，1+a>1是不成立的。

1 浮点数

IEEE754定义了单精度浮点数和双精度数浮点数，即float和double。float有32bit，double有64bit。它们都包括符号位、指数和尾数。

	符号位	指数	尾数
float	31(1)	30-23(8)	22-0(23)
double	63(1)	62-52(11)	51-0(52)

符号位有1bit，0表示正、1表示负。设一个数的指数是e，指数部分的值是bias+e。加上一个bias是为了表示负数。 float的bias是127，double的bias是1023。指数全0或全1有特殊含义，不算正常指数。

• float的指数部分有8bit，可以取值1~254，减掉127，得到对应的指数范围-126~127。
• double的指数部分有11位，可以取值1~2046，减掉1023，得到对应的指数范围-1022~1023。

这里的指数是以2为底的，同样尾数也是二进制的。IEEE754要求浮点数以规范形式存储，即小数点前有1位非零数字。对于二进制数，非零数字只有1。所以IEEE754在存储时省略了这个小数点前面的1，只存储小数点后面的位。

2 误差

看个例子，设：

 double a=0.2;

在PC上，我们可以看到a对应的存储区数据是：

9A 99 99 99 99 99 C9 3F

PC的数据是小尾的，即低位字节在后，将其写成高位字节在前，得到：

3F C9 99 99 99 99 99 9A

可见符号位为0。指数位是0x3FC，即1020，减掉1023，得到指数-3。尾数是999999999999A。所以完整的数字就是16进制的1.999999999999A乘上2^-3。即：

a=(1+9*(1/16+1/16^2+...+1/16^12)+10/16^13)*2^-3

(1/16+...+1/16^12)可以用等比级数求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)计算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：

a=(1+9*(1-1/16^12)/15+10/16^13)*2^-3

用windows的计算器计算上式，得到

a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157

这也不是精确解，但已经可以看到用double表示0.2时存在的误差。这个例子说明在用有限字长的二进制浮点数表示任意实数a可能引入误差。设实数a的指数为e，尾数位数为n，显然：

误差<(1/2^n)*2^e

3 精度

可以把机器精度定义为满足条件

fl(1+ε)>1

的最小浮点数ε。其中fl(1+ε)是1+ε的浮点表示。显然double的机器精度是1/2^52。float的机器精度是1/2^23。 matlab内部采用double，1+1/2^53对double来说就是1，所以1+1/2^53不会大于1。

对于规范数来说，因为小数点前默认有个1，所以float的有效数字是24bit，对应8位十进制有效数字； double的有效数字是53bit，对应16位十进制有效数字。

4 特殊的浮点数

前面提到浮点数的指数全0或全1有特殊含义，让我们来看看这些特殊的浮点数：

• 指数和尾数都是全0表示0。根据符号位不同可以分为+0和-0。
• 指数全0，尾数不为全0，这些数是非规范数，即尾数部分不假设前面存在小数点前的1。或者说这些数太接近0了，因为指数已经不能再小，所以这些数不能写成规范形式。例如：double数0000 0000 0000 0001的尾数是0 0000 0000 0001，即1/2^52，对应的数是1/(2^52)*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。
• 指数全1，尾数全0表示无穷大，即inf。根据符号位不同可以分为+inf和-inf。
• 指数全1，尾数不为全0表示NaN，即Not a Number，不是数。尾数最高位为1的NaN被称作QNaN（Quiet NaN）。尾数最高位为0的NaN被称作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不确定的操作，用SNaN表示无效的操作。

在计算机内部，double就是一个64位数。从0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF，每个64位数都对应一个浮点数或NaN。我写了一个小程序，按照64位无符号整数的顺序打印出典型的浮点数。表格的第一列是浮点数的内部表示。为了便于阅读，按大尾顺序输出。第二列是对应的浮点数。第三列是注释，对于非规范数和规范数给出了由内部表示计算数值的matlab算式。注意在C/C++中，2^52要写成pow(2.0,52.0)。

0000 0000 0000 0000	0.0000000000000000e+000	+0
0000 0000 0000 0001	4.9406564584124654e-324	1/(2^52)*2^-1022
000F FFFF FFFF FFFF	2.2250738585072009e-308	.5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022
0010 0000 0000 0000	2.2250738585072014e-308	1.0*2^-1022
0010 0000 0000 0001	2.2250738585072019e-308	(1+1/2^52)*2^(-1022)
001F FFFF FFFF FFFF	4.4501477170144023e-308	(1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022
0020 0000 0000 0000	4.4501477170144028e-308	1.0*2^-1021
3FF0 0000 0000 0000	1.0000000000000000e+000	1.0
3FF0 0000 0000 0001	1.0000000000000002e+000	1.0+1/(2^52)
3FFF FFFF FFFF FFFF	1.9999999999999998e+000	1+.5*(1-.5^52)/(1-.5)
4000 0000 0000 0000	2.0000000000000000e+000	1.0*2^1
7FEF FFFF FFFF FFFF	1.7976931348623157e+308	(1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023
7FF0 0000 0000 0000	1.#INF000000000000e+000	+INF
7FF0 0000 0000 0001	1.#SNAN00000000000e+000	SNaN
7FF7 FFFF FFFF FFFF	1.#SNAN00000000000e+000	SNaN
7FF8 0000 0000 0000	1.#QNAN00000000000e+000	QNaN
7FFF FFFF FFFF FFFF	1.#QNAN00000000000e+000	QNaN
8000 0000 0000 0000	0.0000000000000000e+000	-0
8000 0000 0000 0001	-4.9406564584124654e-324	-(1/(2^52)*2^-1022)
800F FFFF FFFF FFFF	-2.2250738585072009e-308	-(.5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022)
8010 0000 0000 0000	-2.2250738585072014e-308	-(1.0*2^-1022)
8010 0000 0000 0001	-2.2250738585072019e-308	-((1+1/2^52)*2^(-1022))
801F FFFF FFFF FFFF	-4.4501477170144023e-308	-((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022)
8020 0000 0000 0000	-4.4501477170144028e-308	-(1.0*2^-1021)
BFF0 0000 0000 0000	-1.0000000000000000e+000	-1.0
BFFF FFFF FFFF FFFF	-1.9999999999999998e+000	-(1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))
C000 0000 0000 0000	-2.0000000000000000e+000	-(1.0*2^1)
FFEF FFFF FFFF FFFF	-1.7976931348623157e+308	-((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023)
FFF0 0000 0000 0000	-1.#INF000000000000e+000	-INF
FFF0 0000 0000 0001	-1.#SNAN00000000000e+000	SNaN
FFF7 FFFF FFFF FFFF	-1.#SNAN00000000000e+000	SNaN
FFF8 0000 0000 0000	-1.#IND000000000000e+000	QNaN
FFFF FFFF FFFF FFFF	-1.#QNAN00000000000e+000	QNaN

从表中可以看到，double内部表示的设计是很有规律的，按照对应64位数的顺序依次为 +0、正非规范数、正规范数、正无穷大、符号位为正的NaN、-0、负非规范数、负规范数、负无穷大、符号位为负的NaN。

double内部表示的设计保持了浮点数的有序性。即：如果正double数a<正double数b，则a对应的64位无符号整数<b对应的64位无符号整数。负数因为差了个符号，所以浮点数与对应整数的顺序相反。 float也有类似的规律。

4 结束语

float和int都是32bit，但float的尾数只用了23bit。int的精度高于float，float的表示范围大于int。float牺牲精度换取了更大的表示范围。 double的尾数是52bit，高于32bit的int，所以用dobule表示int不会有精度损失。 double是科学计算的常用类型，了解double的内在和限制，有助于我们更好地使用它。