c语言的取模运算

http://blog.csdn.net/yingbinchina/archive/2008/07/26/2715549.aspx

留着以后读

我们对C的% 运算知多少呢？
当是正整数时，可能大家都知道。例如：5%3等于2, 3%5等于3。
当 存在负数时呢？先看看例子：
例一：
int main()
{

int x;
x = -6%5; printf("%2d\n",x);
x = 6%-5; printf("%2d\n",x);
x = 1%-5; printf("%2d\n",x);
x = -1%-5; printf("%2d\n",x);
x = -6%-5; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果为：
-1
1
1
-1
-1
例二：
#include <stdio.h>
int main()

{

int x;
x = 5%-6; printf("%2d\n",x);
x = -5%6; printf("%2d\n",x);
x = 4%5; printf("%2d\n",x);
x = -4%-5; printf("%2d\n",x);
x = -5%-6; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果为：
5
-5
4
-4
-5

你看出规律了吗？我帮你总结一下：
余数的定义：当被除数不够整除时余下的数。

当都是正整数时:
除法实际可转化为减数，不够减时剩下的就是余数。
例如：12%5
12-5-5
2
当存在负数时: x%y
i. 当异号时：
if |x|>|y|
result: x+y
else
result: x
例：
-6% 5等于－1
6%-5等于 1
5%-6等于 5
-5% 6等于 -5
ii. 当同号时：
if |x|>|y|
result: x-y
else
result: x
例：
-1%-5等于-1
-6%-5等于-1
-4%-5等于-4
-5%-6等于-5
相信当你记住这个规律后，再遇到这种问题，你不用思考就可以回答出来。
但你一定不会满意，因为这不是你想要的 结果，你一定觉得还有更深层的
原因。如果你感兴趣，请接着看：
例三：
#include <stdio.h>
int main()
{

int x;
x = -6/5; printf("%2d\n",x);
x = 6/-5; printf("%2d\n",x);
x = 1/-5; printf("%2d\n",x);
x = -1/-5; printf("%2d\n",x);
x = -6/-5; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果：
-1
-1
0
0
1
例四：
#include <stdio.h>
int main()
{

int x;
x = 5/-6; printf("%2d\n",x);
x = -5/6; printf("%2d\n",x);
x = 4/5; printf("%2d\n",x);
x = -4/-5; printf("%2d\n",x);
x = -5/-6; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果：
0
0
0
0
0
这两个例子我想大家都觉得很简单，但简单并不代表它没价值，
特别是它 和其它事物联系其来时你才会注意到。
“/”在我们这些程序中代表整除，它符合除法法则，异号抵消。
再看看我们余数的定义 ：
整除“余”下的“数”。
则有：余数＝被除数－商*除数
商就是我 们整除的结果。
看例子：
eg1:
(-6%5) ＝ -6 - (-6/5)*5
(-6%5) = -6 - (-1)*5
(-6%5) = -6 - (-5)
(-6%5) = -6+5
(-6%5) = -1
eg2:
(5%-6) = 5 - (5/-6)*(-6)
(5%-6) = 5 - (0)*(-6)
(5%-6) = 5 - 0
(5%-6) = 5
eg3:
(-5%-6)= -5 - (-5/-6)*(-6)
(-5%-6)= -5 - (0)*(-6)
(-5%-6)= -5 - 0
(-5%-6)= -5
eg4:
(6%-5) = 6 - (6/-5)*(-5)
(6%-5) = 6 - (-1)*(-5)
(6%-5) = 6 - 5
(6%-5) = 1
到现在为 止，你还有什么疑惑？
但我还是有点不明白，这是数学中的定义吗？
我查了一下《Concrete Mathematics》，请看原文：
摘 之 P82
------------------
3.4 ‘MOD': THE BINARY OPERATION
The quotient of n divided by m is [n/m],when m and n are positive
integers. It's handy to have a simple notation also for the remainder
of this division, and we call it 'n mod m', The basic formula
n = m[n/m]+ n mod m
//NOTE："m[n/m]" is quotient, "n mod m" is remainder
tells us that we can express n mod m as n-m[n/m] .We can generalize this
to megative integers, and in fact to arbitrary real numbers:
x mod y = x - y[x/y], for y!=0.
--------------------
从 文中可能看出，数学中的 余数(remainder) 其实就是 取模(mod),即：
x mod y = x%y
x%y = x - y[x/y], for y!=0.
数学中的余数概念和我们的计算机中的余数概念一致，但实现却不一致。
其 中 [x/y] 代表的是 x/y 的最小下界。
例：
-3 mod 2 = -3 - 2*[-3/2]
= -3 - 2*[-1.5]
= -3 - 2*(-2)
= -3 + 4
= 1
而我们的计算机是怎么做的呢：
-3%2 = -3 - 2*(-3/2)
= -3 - 2*(-1)
= -3 - (-2)
= -1
所以计算机中的取余实际上是：
x%y = x - y(x/y), for y!=0.
这就是二者的区别。这个区别，对于正数，二者计算出的结果是相等的，但是负数就不相等了。这就意味着，如果以后在使用数学中余数相关定理的时候，要注意计 算机中余数的计算和数学定义不是完全一致的，所以在计算机上，对于负数，数学定理并不完全适用。当然，对于正数，二者是没有区别的。至于为什么计算机上要 这么实现，我想恐怕还是历史原因，最早的计算机如果这样计算除法（取余是靠除法来完成的），那么就涉及到浮点数的计算以及取下界，这样，将比较大的降低效 率，所以实现成了这样的方式，一直沿用至今。

我们对C的% 运算知多少呢？
当是正整数时，可能大家都知道。例如：5%3等于2, 3%5等于3。
当 存在负数时呢？先看看例子：
例一：
int main()
{

int x;
x = -6%5; printf("%2d\n",x);
x = 6%-5; printf("%2d\n",x);
x = 1%-5; printf("%2d\n",x);
x = -1%-5; printf("%2d\n",x);
x = -6%-5; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果为：
-1
1
1
-1
-1
例二：
#include <stdio.h>
int main()

{

int x;
x = 5%-6; printf("%2d\n",x);
x = -5%6; printf("%2d\n",x);
x = 4%5; printf("%2d\n",x);
x = -4%-5; printf("%2d\n",x);
x = -5%-6; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果为：
5
-5
4
-4
-5

你看出规律了吗？我帮你总结一下：
余数的定义：当被除数不够整除时余下的数。

当都是正整数时:
除法实际可转化为减数，不够减时剩下的就是余数。
例如：12%5
12-5-5
2
当存在负数时: x%y
i. 当异号时：
if |x|>|y|
result: x+y
else
result: x
例：
-6% 5等于－1
6%-5等于 1
5%-6等于 5
-5% 6等于 -5
ii. 当同号时：
if |x|>|y|
result: x-y
else
result: x
例：
-1%-5等于-1
-6%-5等于-1
-4%-5等于-4
-5%-6等于-5
相信当你记住这个规律后，再遇到这种问题，你不用思考就可以回答出来。
但你一定不会满意，因为这不是你想要的 结果，你一定觉得还有更深层的
原因。如果你感兴趣，请接着看：
例三：
#include <stdio.h>
int main()
{

int x;
x = -6/5; printf("%2d\n",x);
x = 6/-5; printf("%2d\n",x);
x = 1/-5; printf("%2d\n",x);
x = -1/-5; printf("%2d\n",x);
x = -6/-5; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果：
-1
-1
0
0
1
例四：
#include <stdio.h>
int main()
{

int x;
x = 5/-6; printf("%2d\n",x);
x = -5/6; printf("%2d\n",x);
x = 4/5; printf("%2d\n",x);
x = -4/-5; printf("%2d\n",x);
x = -5/-6; printf("%2d\n",x);
}
运 行结果：
0
0
0
0
0
这两个例子我想大家都觉得很简单，但简单并不代表它没价值，
特别是它 和其它事物联系其来时你才会注意到。
“/”在我们这些程序中代表整除，它符合除法法则，异号抵消。
再看看我们余数的定义 ：
整除“余”下的“数”。
则有：余数＝被除数－商*除数
商就是我 们整除的结果。
看例子：
eg1:
(-6%5) ＝ -6 - (-6/5)*5
(-6%5) = -6 - (-1)*5
(-6%5) = -6 - (-5)
(-6%5) = -6+5
(-6%5) = -1
eg2:
(5%-6) = 5 - (5/-6)*(-6)
(5%-6) = 5 - (0)*(-6)
(5%-6) = 5 - 0
(5%-6) = 5
eg3:
(-5%-6)= -5 - (-5/-6)*(-6)
(-5%-6)= -5 - (0)*(-6)
(-5%-6)= -5 - 0
(-5%-6)= -5
eg4:
(6%-5) = 6 - (6/-5)*(-5)
(6%-5) = 6 - (-1)*(-5)
(6%-5) = 6 - 5
(6%-5) = 1
到现在为 止，你还有什么疑惑？
但我还是有点不明白，这是数学中的定义吗？
我查了一下《Concrete Mathematics》，请看原文：
摘 之 P82
------------------
3.4 ‘MOD': THE BINARY OPERATION
The quotient of n divided by m is [n/m],when m and n are positive
integers. It's handy to have a simple notation also for the remainder
of this division, and we call it 'n mod m', The basic formula
n = m[n/m]+ n mod m
//NOTE："m[n/m]" is quotient, "n mod m" is remainder
tells us that we can express n mod m as n-m[n/m] .We can generalize this
to megative integers, and in fact to arbitrary real numbers:
x mod y = x - y[x/y], for y!=0.
--------------------
从 文中可能看出，数学中的 余数(remainder) 其实就是 取模(mod),即：
x mod y = x%y
x%y = x - y[x/y], for y!=0.
数学中的余数概念和我们的计算机中的余数概念一致，但实现却不一致。
其 中 [x/y] 代表的是 x/y 的最小下界。
例：
-3 mod 2 = -3 - 2*[-3/2]
= -3 - 2*[-1.5]
= -3 - 2*(-2)
= -3 + 4
= 1
而我们的计算机是怎么做的呢：
-3%2 = -3 - 2*(-3/2)
= -3 - 2*(-1)
= -3 - (-2)
= -1
所以计算机中的取余实际上是：
x%y = x - y(x/y), for y!=0.
这就是二者的区别。这个区别，对于正数，二者计算出的结果是相等的，但是负数就不相等了。这就意味着，如果以后在使用数学中余数相关定理的时候，要注意计 算机中余数的计算和数学定义不是完全一致的，所以在计算机上，对于负数，数学定理并不完全适用。当然，对于正数，二者是没有区别的。至于为什么计算机上要 这么实现，我想恐怕还是历史原因，最早的计算机如果这样计算除法（取余是靠除法来完成的），那么就涉及到浮点数的计算以及取下界，这样，将比较大的降低效 率，所以实现成了这样的方式，一直沿用至今。