Mandelbrot集

Mandelbrot集

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曼德布洛特集合（Mandelbrot set）是在复平面上组成分形的点的集合。Mandelbrot集合可以用复二次多项式f(z)=z^2+c来定义。

　　其中c是一个复参数。对于每一个c，从z=0开始对f(z)进行迭代

　　序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), .......)的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。

　　曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。

　　从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于曼德布洛特集合M，或者不是。

计算的方法

　　曼德布洛特集合一般用计算机程序计算。对于大多数的分形软件，例如Ultra fractal，内部已经有了比较成熟的例子。下面的程序是一段伪代码，表达了曼德布洛特集合的计算思路。

　　For Each z0 in Complex

　　repeats = 0

　　z=z0

　　Do

　　z=z^2+z0

　　repeate = repeats+1

　　Loop until abs(z)>Bailout or repeats >= MaxRepeats

　　If repeats >= MaxRepeats Then

　　Draw z0,Black

　　Else

　　Draw z0,f(z,z0,Repeats) 'f返回颜色

　　End If

　　Next

Julia 集：对复平面上的一个二次映射迭代，即f(z) = z*z + C,对平面上的一点 z=z0 进行迭代，经足够多次迭代后函数值不扩散，这类z0点组成的集合为Julia集，对每一个特定的C都有一个相应Julia集，记为J(C) , C为复数；或 J(a,b) , a、b为C 的实部和虚部。

Mandelbrot集: M集是使Julia集为连通的参数C的集合。它的另一个等价的定义为对每一个C，让z0=0代入迭代式：f(z) = z*z + C,经足够多次迭代后函数值不扩散，这样的C所组成的集合为M集。1980年当 B. B. Mandelbrot第一次画出它的图形以来，M集就被认为是数学上最为复杂的集合之一，又是如此的美丽，它吸引了大批的科学家和爱好者。M集又被称为“数学恐龙”，它已成为混沌、分形最为重要的标志之一。

M集与J集的简单高次迭代：n次迭代式为f(z)=z^n+C (“x^y”表示x的y次方)。

神奇的分形艺术（四）：Julia集和Mandelbrot集

Brain Storm | 2007-08-17 12:55| 28 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

考虑函数f(z)=z^2-0.75。固定z0的值后，我们可以通过不断地迭代算出一系列的z值：z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2), ...。比如，当z0 = 1时，我们可以依次迭代出：
z1 = f(1.0) = 1.0^2 - 0.75 = 0.25
z2 = f(0.25) = 0.25^2 - 0.75 = -0.6875
z3 = f(-0.6875) = (-0.6875)^2 - 0.75 = -0.2773
z4 = f(-0.2773) = (-0.2773)^2 - 0.75 = -0.6731
z5 = f(-0.6731) = (-0.6731)^2 - 0.75 = -0.2970
...
可以看出，z值始终在某一范围内，并将最终收敛到某一个值上。
但当z0=2时，情况就不一样了。几次迭代后我们将立即发现z值最终会趋于无穷大：
z1 = f(2.0) = (2.0)^2 - 0.75 = 3.25
z2 = f(3.25) = (3.25)^2 - 0.75 = 9.8125
z3 = f(9.8125) = (9.8125)^2 - 0.75 = 95.535
z4 = f(95.535) = (95.535)^2 - 0.75 = 9126.2
z5 = f(9126.2) = (9126.2)^2 - 0.75 = 83287819.2
...
经过计算，我们可以得到如下结论：当z0属于[-1.5, 1.5]时，z值始终不会超出某个范围；而当z0小于-1.5或大于1.5后，z值最终将趋于无穷。
现在，我们把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数z0=x+iy，取不同的x值和y值，函数迭代的结果不一样：对于有些z0，函数值约束在某一范围内；而对于另一些z0，函数值则发散到无穷。由于复数对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于哪些z0函数值最终趋于无穷，对于哪些z0函数值最终不会趋于无穷。我们用深灰色表示不会使函数值趋于无穷的z0；对于其它的z0，我们用不同的颜色来区别不同的发散速度。由于当某个时候|z|>2时，函数值一定发散，因此这里定义发散速度为：使|z|大于2的迭代次数越少，则发散速度越快。这个图形可以编程画出。和上次一样，我用Pascal语言，因为我不会C的图形操作。某个MM要过生日了，我把这个自己编程画的图片送给她^_^

{$ASSERTIONS+}

uses graph;

type
complex=record
re:real;
im:real;
end;

operator * (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
c.re := a.re*b.re - a.im*b.im;
c.im := a.im*b.re + a.re*b.im;
end;

operator + (a:complex; b:complex) c:complex;
begin
c.re := a.re + b.re;
c.im := a.im + b.im;
end;

var
z,c:complex;
gd,gm,i,j,k:integer;
begin
gd:=D8bit;
gm:=m640x480;
InitGraph(gd,gm,'');
Assert(graphResult=grOk);

c.re:=-0.75;
c.im:=0;
for i:=-300 to 300 do
for j:=-200 to 200 do
begin
z.re:=i/200;
z.im:=j/200;
for k:=0 to 200 do
begin
if sqrt(z.re*z.re + z.im*z.im) >2 then break
else z:=(z*z)+c;
end;
PutPixel(i+300,j+200,k)
end;

readln;
CloseGraph;
end.

代码在Windows XP SP2，FPC 2.0下通过编译，麻烦大家帮忙报告一下程序运行是否正常（上次有人告诉我说我写的绘图程序不能编译）。在我这里，程序运行的结果如下：

这个美丽的分形图形表现的就是f(z)=z^2-0.75时的Julia集。考虑复数函数f(z)=z^2+c，不同的复数c对应着不同的Julia集。也就是说，每取一个不同的c你都能得到一个不同的Julia集分形图形，并且令人吃惊的是每一个分形图形都是那么美丽。下面的六幅图片是取不同的c值得到的分形图形。你可能不相信这样一个简单的构造法则可以生成这么美丽的图形，这没什么，你可以改变上面程序代码中c变量的值来亲自验证。

c = 0.45, -0.1428


c = 0.285, 0.01


c = 0.285, 0


c = -0.8, 0.156


c = -0.835, -0.2321


c = -0.70176, -0.3842




类似地，我们固定z0=0，那么对于不同的复数c，函数的迭代结果也不同。由于复数c对应平面上的点，因此我们可以用一个平面图形来表示，对于某个复数c，函数f(z)=z^2+c从z0=0开始迭代是否会发散到无穷。我们同样用不同颜色来表示不同的发散速度，最后得出的就是Mandelbrot集分形图形：


前面说过，分形图形是可以无限递归下去的，它的复杂度不随尺度减小而消失。Mandelbrot集的神奇之处就在于，你可以对这个分形图形不断放大，不同的尺度下你所看到的景象可能完全不同。放大到一定时候，你可以看到更小规模的Mandelbrot集，这证明Mandelbrot集是自相似的。下面的15幅图演示了Mandelbrot集的一个放大过程，你可以在这个过程中看到不同样式的分形图形。

玩Mathematica之十三——Mandelbrot集之舞