[转载]数学之美 系列十八 － 矩阵运算和文本处理中的分类问题

2007年1月1日下午03:10:00　　发表者：Google研究员，吴军

我在大学学习线性代数时，实在想不出它除了告诉我们如何解线性方程外，还能有什么别的用途。关于矩阵的许多概念，比 如特征值等等，更是脱离日常生活。后来在数值分析中又学了很多矩阵的近似算法，还是看不到可以应用的地方。当时选这些课，完全是为了混学分的学位。我想， 很多同学都多多少少有过类似的经历。直到后来长期做自然语言处理的研究，我才发现数学家们提出那些矩阵的概念和算法，是有实际应用的意义的。

在自然语言处理中，最常见的两类的分类问题分别是，将文本按主题归类（比如将所有介绍亚运会的新闻归到体育类）和将 词汇表中的字词按意思归类（比如将各种体育运动的名称个归成一类）。这两种分类问题都可用通过矩阵运算来圆满地、同时解决。为了说明如何用矩阵这个工具类 解决这两个问题的，让我们先来来回顾一下我们在余弦定理和新闻分类中介绍的方法。

分类的关键是计算相关性。我们首先对两个文本计算出它们的内容词，或者说实词的向量，然后求这两个向量的夹角。当这 两个向量夹角为零时，新闻就相关；当它们垂直或者说正交时，新闻则无关。当然，夹角的余弦等同于向量的内积。从理论上讲，这种算法非常好。但是计算时间特 别长。通常，我们要处理的文章的数量都很大，至少在百万篇以上，二次回标有非常长，比如说有五十万个词（包括人名地名产品名称等等）。如果想通过对一百万 篇文章两篇两篇地成对比较，来找出所有共同主题的文章，就要比较五千亿对文章。现在的计算机一秒钟最多可以比较一千对文章，完成这一百万篇文章相关性比较 就需要十五年时间。注意，要真正完成文章的分类还要反复重复上述计算。

在文本分类中，另一种办法是利用矩阵运算中的奇异值分解 （SingularValueDecomposition，简称SVD)。现在让我们来看看奇异值分解是怎么回事。首先，我们可以用一个大矩阵A来 描述这一百万篇文章和五十万词的关联性。这个矩阵中，每一行对应一篇文章，每一列对应一个词。

在上面的图中，M=1,000,000，N=500,000。第i行，第j列的元素，是字典中第j个词在第i篇文章中出现的加权词频（比如，TF/IDF)。读者可能已经注意到了，这个矩阵非常大，有一百万乘以五十万，即五千亿个元素。

奇异值分解就是把上面这样一个大矩阵，分解成三个小矩阵相乘，如下图所示。比如把上面的例子中的矩阵分解成一个一百 万乘以一百的矩阵X，一个一百乘以一百的矩阵B，和一个一百乘以五十万的矩阵Y。这三个矩阵的元素总数加起来也不过1.5亿，仅仅是原来的三千分之一。相 应的存储量和计算量都会小三个数量级以上。

三个矩阵有非常清楚的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个 词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。最后一个矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章，其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性。中间的矩阵 则表示类词和文章雷之间的相关性。因此，我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解，w我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类。（同时得到每类文章 和每类词的相关性）。

现在剩下的唯一问题，就是如何用计算机进行奇异值分解。这时，线性代数中的许多概念，比如矩阵的特征值等等，以及数 值分析的各种算法就统统用上了。在很长时间内，奇异值分解都无法并行处理。（虽然Google早就有了MapReduce等并行计算的工具，但是由 于奇异值分解很难拆成不相关子运算，即使在Google内部以前也无法利用并行计算的优势来分解矩阵。）最近，Google中国的张智威博士和几个 中国的工程师及实习生已经实现了奇异值分解的并行算法，我认为这是Google中国对世界的一个贡献。