一道笔试题目的算法过程

转贴地址：url
        [url]  http://blog.csdn.net/caowenbin/archive/2011/03/02/6217976.aspx[/url]

无论是技术笔试还是面试，通常会要求写一点代码或详细描述程序思路，很多应试者都认为自己的回答还算过得去，但往往还是没有了下文。究其原因，既有对试题的轻视，也有平时没有养成良好的思维习惯。其实无论试题的难易程度如何，其背后都可以考核出很多知识点来，比如我们来看这样一道简单的笔试题：
写程序，能够计算组合数 。

这道题太简单了，当我们第一次学程序设计语言的时候可能都写过这个程序，我们一起来看一下这道题的思路过程。

首先想到的是写一个求阶乘的函数，然后再另一个函数中对其调用以计算该组合数。这个思路没有问题，但是能写好代码也不是件容易的事，而且我们应该意识到，招聘方的这道简单的问题很显然是需要我们尽量写得完整的，而不是象征性写出思路，因此，必要的健壮性是要体现出来的。很多人的程序如下：
  

 private static int factorial(int n){
       int ret=1;
       for(int i=2;i<=n;ret*=i++);
       return ret;
    }
   
    public static int combination1(int all,int select){
       return factorial(all)/factorial(select)/factorial(all-select);
    }

在这段程序中，由于没有任何容错机制，所以肯定是得不到高分的。另外还有个别人在第二个函数中的语句写成了：
       return factorial(all)/factorial(select)*factorial(all-select);
这样粗心的错误直接会被判0分，基本上就不会再进入下一轮了。

加入了容错检查的程序如下：
   

private static int factorial(int n){
       if (n<0)
           throw new InvalidParameterException();
      
       int ret=1;
       if (n==0 || n==1)
           return ret;
       else
           for(int i=2;i<=n;ret*=i++);
      
       return ret;
    }
   
    public static int combination1(int all,int select){
       if (select>all || all<=0 || select<=0)
           throw new InvalidParameterException();
      
       if (select==all)
           return 1;
      
       return factorial(all)/factorial(select)/factorial(all-select);
    }

这样这个基本思路的代码就算差不多了，这道题的及格分也就够了。

但是，在众多及格分的成绩中要想获得机会，还是需要再继续改进的。也有的是面试官不断的提出新的需求，比如：如果保持程序中使用int类型不变，那么上述阶乘的计算函数只能算到大约12！，还能进一步提高这个数值吗？或者如果让你提高这段代码的运行效率，你要用什么思路优化？
类似这样问题的提出，就是考验应聘者的时候了，经过分析，优化的空间可以通过原表达式约分实现。在原表达式中，必然有一部分阶乘是重复计算的，而且n！决定了可计算的最大值，如果能把这些重复的计算去掉，把阶乘运算去掉，很显然不仅效率能提高，而且可计算的范围也将变大。
参考程序如下：
   

public static int combination2(int all,int select){
       if (select>all || all<=0 || select<=0)
           throw new InvalidParameterException();
      
       int ret=1;
       int begin=0;
       if (all==select)
           return ret;
      
       //从1-begin之间的数被约分掉以简化计算
       if (select<all-select)
           begin=all-select+1;
       else
           begin=select+1;
      
       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);    //计算分子
       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--); //被分母除
      
       return ret;
    }

如果能第一次就写成这种思路，很显然，我们的机会会更多。

再来接受一下考验，如果面试官要求你再提供思路来优化运行效率，这时我们还要继续思考，比如把已经运算的结果缓冲起来，当再有相同的参数要求运算时直接从缓冲区返回算好的结果，将比重新运算要快。利用该思路，我们改造上边的函数，形成如下代码：
   

private static Map<String,Integer> mapTable=new HashMap<String,Integer>();
……
    public static int combination3(int all,int select){
       if (select>all || all<=0 || select<=0)
           throw new InvalidParameterException();
      
       int ret=1;
       int begin=0;
       if (all==select){
           return ret;
       }
      
       String tableKey=new String(all+","+select);
       Integer tableValue=mapTable.get(tableKey);
       if (tableValue!=null)
           return tableValue.intValue();
      
       if (select<all-select){
           begin=all-select+1;
       }
       else{
           begin=select+1;
       }
      
       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);
       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);
      
       mapTable.put(tableKey, Integer.valueOf(ret));
      
       return ret;
}

利用一个Map作为缓冲区以保存曾经计算好的结果，典型的空间换时间的思路，但已经能让面试官满意的了。

但是，面试官的问题是会一直延续下去的，他思路的过程也应该是我们写代码思路的过程，因此，新的问题可能是：用HashMap不一定能提高效率，反而会降低效率，能说说是什么原因吗？如果不用HashMap，那用什么容器做缓冲区能更高效？
其实，用HashMap，如果像上文程序那样使用String作为Key，则每次检索时的Hash运算都会耗掉很多时间，自然，如果不采用这种额外的寻址算法，才能达到预期的目的。常用的方式就是采用表格，将算好的结果以某种简单的方式存入到表格中，或者如果运算的数据范围在合适的范围内，也可以预先把表格定好，这样就减少了寻址带来的损失了。为了简单起见，下面的代码使用了数组代替前面的Map。
   

private static int[] intTable;
    ……
    public static int combination4(int all,int select){
       if (select>all || all<=0 || select<=0)
           throw new InvalidParameterException();
      
       int ret=1;
       int begin=0;
       if (all==select){
           return ret;
       }
      
       if (intTable!=null && intTable[select]!=-1)
           return intTable[select];
      
       if (select<all-select){
           begin=all-select+1;
       }
       else{
           begin=select+1;
       }
      
       for(int i=begin;i<=all;ret*=i++);
       for(int i=all-begin+1;i>1;ret/=i--);
      
       if (intTable==null){
           intTable=new int[all+1];
           for(int i=0;i<all+1;intTable[i++]=-1);
       }
       intTable[select]=ret;
      
       return ret;
    }

面试官的问题又来了：还能再优化吗？你可以与面试官讨论更多的细节以决定不同的优化方案，也可以如实告诉面试官你没有想到别的办法。我想，这时面试官期待的已经不是你能给他新的代码了，更多的是在考察你有没有独立解决难题这样代码之外的能力了。

对于前文的代码，最后通过对比发现，使用数组缓存的实现其运行效率最高，然后是改良算法2，接下来是阶乘的实现方案，但比combination2要慢上1-2倍，最后是使用HashMap的实现效率最低。

通过上述解析，可以看到，貌似简单的面试题，其实可以考察到很多内容，所以，求职时要认真准备，认真对待