BloomFilter解析

BloomFilter是用位数组来表示一个集合，例如{s1,s2,s3,s4}那么现在保持的时候，就是用一个m位的位数组来表示该集合，存放的时候是对该集合中的一个元素做k次hash运算，运算结果是位数组下标，然后拿到该下标，将该下标对应的值设为1，要判断一个元素是否在这个集合中，也是通过对这个元素做k次hash运算，拿到数组下标，判断对应下标是否为1，如果不为1，那么肯定不包含在该集合中，如果为1，那么有可能包含在次集合中，不排除误差影响。

以java代码为例，比如你生产一个BitSet，add数据的时候，通过一个getIndex函数来得到相应的集合元素中对应的key的hash函数值，存入一个int数组中，然后调用bitset.set(index)将对应位置设置为true。这样就相当于把对象存放进去了，然后如果要查找对应的元素是否在集合中，只需要也给掉getIndex函数，得到对应下标，判断对应下标下值是否为true，就可以知道该元素是否属于集合中了。

 

下面是网上copy的bloomfilter的算法解析：

    前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设kn<m且各个哈希函数是完全随机的。当集合S={x1, x2,…,xn}的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

 

其中1/m表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），(1-1/m)表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把S完全映射到位数组中，需要做kn次哈希。某一位还是0意味着kn次哈希都没有选中它，因此这个概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

 

 

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望E(ρ)= p’。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

 

(1-ρ)为位数组中1的比例，(1-ρ)k就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。p’只是ρ的数学期望，在实际中ρ的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将p和p’代入上式中，得：

 

相比p’和f’，使用p和f通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

 

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

 

 

 

先用p和f进行计算。注意到f = exp(k ln(1 − e−kn/m))，我们令g = k ln(1 − e−kn/m)，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我们可以将g写成

 

根据对称性法则可以很容易看出当p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于(1/2)k ≈ (0.6185)m/n。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

 

 

 

需要强调的一点是，p = 1/2时错误率最小这个结果并不依赖于近似值p和f。同样对于f’ = exp(k ln(1 − (1 − 1/m)kn))，g’ = k ln(1 − (1 − 1/m)kn)，p’ = (1 − 1/m)kn，我们可以将g’写成

同样根据对称性法则可以得到当p’ = 1/2时，g’取得最小值。

位数组的大小

 

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

 

 

 

假设X为全集中任取n个元素的集合，F(X)是表示X的位数组。那么对于集合X中任意一个元素x，在s = F(X)中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够є (u - n)个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共n + є (u - n)个元素。在n + є (u - n)个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示

  

 

个集合。全集中n个元素的集合总共有

个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于n log2(1/є)才能表示任意n个元素的集合。

 

 

 

上一小节中我们曾算出当k = ln2· (m/n)时错误率f最小，这时f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n。现在令f≤є，可以推出

这个结果比前面我们算得的下界n log2(1/є)大了log2 e ≈ 1.44倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

 

举个例子我们假设错误率为0.01，则此时m应大概是n的13倍。这样k大概是8个。