【查找结构 2】二叉查找树 [BST]

当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候，整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言，是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构，我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树 。

 

二叉查找树的特点

 

下面的图就是两棵二叉查找树，我们可以总结一下他的特点：

(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值

(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值
(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树

 

 

我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列： 【1  2  3  4  5  6  7  8 】

 

 

二叉查找树的操作

 

插入操作：

现在我们要查找一个数9，如果不存在则，添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程：

1). 数9和根节点4比较(9>4)，则9放在节点4的右子树中。

2). 接着，9和节点5比较(9>5)，则9放在节点5的右子树中。

3). 依次类推：直到9和节点8比较(9>8)，则9放在节点8的右子树中，成为节点8的右孩子。

这个过程我们能够发现，动态添加任何一个数据，都会加在原树结构的叶子节点上，而不会重新建树。 由此可见，动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。

 

删除操作：

如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在，则删除的时候需要改变一些子树结构，但所需要付出的代价很小。

 

具体的插入，删除算法请参加《数据结构算法与应用——搜索树》P5-8。[该章节已经上传到《查找结构专题(6)：动态查找树比较 》中]。

 

 

二叉查找树的效率分析

 

 

那么我们再来看看二叉查找树的效率问题

 

很显然，在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据，并不需要遍历全部的节点元素，查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题：我们在a图中查找8需要比较5次数据，而在B图中只需要比较3次。更为严重的是：如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树，整棵树就退化成了一个线性结构（如c输入图：单支树），此时查找8需要比较8次数据，和顺序查找没有什么不同。

总结一下：最坏情况下，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(N)成正比 （O(log2(n))）。

 

这说明：同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。

 

那么如何解决这个问题呢? 我们会在下面的专题中：《平衡二叉树》 中来解决。

 

下面是java实现的二叉查找树（说句老实话，没有指针的java实现数据结构真是复杂）：

package net.hr.algorithm.search;

import java.util.ArrayList;

/**
 * 二叉树节点结构
 * @author heartraid
 */
class BSTNode<E extends Comparable<E>>{
	/**结点关键字*/
	E key=null;
	/**直接父亲结点*/
	BSTNode<E> parent=null;
	/**结点左子树的根节点*/
	BSTNode<E> lchild=null;
	/**结点右子树的根节点*/
	BSTNode<E> rchild=null;
	
	BSTNode(E k){
		this.key=k;
	}

}
/**
 * 二叉查找树 Binary Search Tree(BST)
 * @author heartraid
 *
 */
public class BST<E extends Comparable<E>> {
	/**树根*/
	private BSTNode<E> root=null;
	
	public BST(){
	}
	
	/**
	 * BST 查询关键字
	 * @param key 关键字
	 * @return 查询成功/true, 查询失败/false
	 */
	public boolean search(E key){
		System.out.print("搜索关键字["+key+"]：");
		if(key==null||root==null){
			System.out.println("搜索失败");
			return false;
		}
		else{
			System.out.print("搜索路径[");
			if(searchBST(root,key)==null){
				return false;
			}
			else return true;
				
		}
	}
	/**
	 * BST插入关键字
	 * @param key 关键字
	 * @return 插入成功/true, 插入失败/false
	 */
	public boolean insert(E key){
		System.out.print("插入关键字["+key+"]：");
		if(key==null) return false;
		if(root==null){
			System.out.println("插入到树根。");
			root=new BSTNode<E>(key);
			return true;
		}
		else{
			System.out.print("搜索路径[");
			return insertBST(root,key);
		}
	}
	
	public boolean delete(E key){
		System.out.print("删除关键字["+key+"]：");
		if(key==null||root==null){
			System.out.println("删除失败");
			return false;
		}
		else{
			System.out.print("搜索路径[");
			
			//定位到树中待删除的结点
			BSTNode<E> nodeDel=searchBST(root,key);
			if(nodeDel==null){
				return false;
			}
			else{
				//nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树
				if(nodeDel.rchild==null){
					
					BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
					if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
						parent.lchild=nodeDel.lchild;
					else
						parent.rchild=nodeDel.lchild;
				}
				//左子树为空,则重接它的右子树
				else if(nodeDel.lchild==null){
					BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
					if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
						parent.lchild=nodeDel.rchild;
					else
						parent.rchild=nodeDel.rchild;
				}
				//左右子树均不空
				else{
					BSTNode<E> q=nodeDel;
					//先找nodeDel的左结点s
					BSTNode<E> s=nodeDel.lchild;
					//然后再向s的右尽头定位(这个结点将替代nodeDel)，其中q一直定位在s的直接父亲结点
					while(s.rchild!=null){ 
						q=s;
						s=s.rchild;
					}
					//换掉nodeDel的关键字为s的关键字
					nodeDel.key=s.key;
					//重新设置s的左子树
					if(q!=nodeDel) 
						q.rchild=s.lchild;
					else
						q.lchild=s.lchild;
				}
				return true;
			}
		}
	}
	
	/**
	 * 递归查找关键子
	 * @param node 树结点
	 * @param key 关键字
	 * @return 查找成功，返回该结点，否则返回null。
	 */
	private BSTNode<E> searchBST(BSTNode<E> node, E key){
		if(node==null){
			System.out.println("].  搜索失败");
			return null;
		}
		System.out.print(node.key+" —>");
		//搜索到关键字
		if(node.key.compareTo(key)==0){
			System.out.println("].  搜索成功");
			return node;
		}
		//在左子树搜索
		else if(node.key.compareTo(key)>0){
				return searchBST(node.lchild,key);
		}
		//在右子树搜索
		else{
			return searchBST(node.rchild,key);
		}
	}
	
	/**
	 * 递归插入关键字
	 * @param node 树结点
	 * @param key 树关键字
	 * @return true/插入成功，false/插入失败
	 */
	private boolean insertBST(BSTNode<E> node, E key){
		System.out.print(node.key+" —>");
		//在原树中找到相同的关键字，无需插入。
		if(node.key.compareTo(key)==0) 
		{
			System.out.println("].  搜索有相同关键字，插入失败");
			return false;
		}
		else{
			//搜索node的左子树
			if(node.key.compareTo(key)>0){
				//如果当前node的左子树为空，则将新结点key node插入到左孩子处
				if(node.lchild==null) {
					System.out.println("].  插入到"+node.key+"的左孩子");
					BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key); 
					node.lchild=newNode;
					newNode.parent=node;
					return true;
				}
				//如果当前node的左子树存在，则继续递归左子树
				else return insertBST(node.lchild, key);
			}
			//搜索node的右子树
			else{
				if(node.rchild==null){
					System.out.println("].  插入到"+node.key+"的右孩子");
					BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key); 
					node.rchild=newNode;
					newNode.parent=node;
					return true;
				}
				else return insertBST(node.rchild,key);
			}
		}
		
	}
	/**
	 * 得到BST根节点
	 * @return BST根节点f
	 */
    public BSTNode<E> getRoot(){
    	return this.root;
    }
    /**
     * 非递归中序遍历BST
     */
    public void InOrderTraverse(){
    	if(root==null)
    		return;
    	BSTNode<E> node=root;
    	ArrayList<BSTNode<E>> stack=new ArrayList<BSTNode<E>>();   	
    	stack.add(node);
    	while(!stack.isEmpty()){
    		while(node.lchild!=null){
    			node=node.lchild;
    			stack.add(node);
    		}
    		if(!stack.isEmpty()){
    			BSTNode<E> topNode=stack.get(stack.size()-1);
    			System.out.print(topNode.key+" ");
    			stack.remove(stack.size()-1);
    			if(topNode.rchild!=null){
    				node=topNode.rchild;
    				stack.add(node);
    			}
    		}
    	}
    	
    	
    }
    
    /**
     * 测试
     */
	public static void main(String[] args) {
		BST<Integer> tree=new BST<Integer>();
		tree.insert(new Integer(100));
		tree.insert(new Integer(52));
		tree.insert(new Integer(166));
		tree.insert(new Integer(74));
		tree.insert(new Integer(11));
		tree.insert(new Integer(13));
		tree.insert(new Integer(66));
		tree.insert(new Integer(121));
		
                tree.search(new Integer(11));
                tree.InOrderTraverse();
		
                tree.delete(new Integer(11));
		tree.InOrderTraverse();

	}

}

评论

3 楼 liuzdcq 2011-03-30  

不好意思，我理解错了！二叉查找树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
关于parent.rchild=nodeDel.lchild;这点是没有任何问题的！

2 楼 liuzdcq 2011-03-29  

直接用 == 比较地址就可以了。
当nodeDel右子树为空时，如果nodeDel是其parent的右子节点，那么 parent.rchild=nodeDel.lchild;不能保证二叉树结构吧，因为nodeDel.lchild.key不一定大于parent.key

1 楼 baiweiyll 2011-03-15  

楼主分析的真的是很清晰啊，但是这个二叉查找树的删除好像有问题

  
                //nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树  
                if(nodeDel.rchild==null){  
                      
                    BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;  
                    if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)  
                        parent.lchild=nodeDel.lchild;  
                    else  
                        parent.rchild=nodeDel.lchild;  
                }  

满足nodeDel.rchild==null的情况下，parent.lchild可能也为null，所以parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0肯定会报java.lang.NullPointerException的
例如删除下图a的2这个叶子节点